Прогнозирование по временным рядам динамики

Одним из методов прогнозирования является экстраполяция (перенесение в будущее тенденций, которые сформировались в прошлом), опирающаяся на анализ динамического ряда изучаемого показателя.

Динамический ряд (или временной ряд) ̶ ряд значений некоторого показателя, взятых по состоянию на определенные моменты или периоды времени. Временные ряды отражают динамику социально-экономических явлений. Если уровни временного ряда формируются под влиянием факторов и условий, которые будут незначительно изменяться в будущем, то временной ряд можно использовать для прогнозирования.

Действие факторов, влияющих на величины уровней временного ряда, носит различный временной характер. Влияние одних факторов проявляется постепенно в течение продолжительных промежутков времени, влияние других – периодически, с разной длиной периода. Некоторые факторы проявляют себя случайно и нерегулярно. В этой связи каждый уровень временного ряда можно рассматривать как результат наложения компонент, имеющих разный временной характер действия. К таким компонентам относят: тренд, циклическую компоненту, сезонную компоненту, нерегулярную компоненту.

Под трендом понимается долгосрочная составляющая, характеризующая общую тенденцию изменения временного ряда в течение длительного периода времени.

Под тенденцией понимается возрастание или убывание уровней временного ряда.

Факторами, порождающими тренд, могут быть изменения состава населения, инфляция, технологические изменения, рост производства, рост цен и т.д.

В практике моделирования и прогнозирования объема перевозок грузов самым распространенным и дающим хорошие результаты сглаживания уравнений временных рядов динамики является метод наименьших квадратов (МНК). Сущность данного метода состоит в выборе таких параметров исследуемого уровня, при котором сумма квадратов отклонений сглаженных значений уровней ŷt от соответствующих им во времени эмпирических значений yt должна быть минимальной:

∑(ŷt – yt)² → min, t = 1,2, …, Т,                (2.9)

где t – фактор времени;

n – число уровней эмпирического ряда (кол-во исследуемого периода (год, квартал)).

Подставляя в найденное в результате сглаживания уравнения (модели) соответствующие значение времени t, (t = n + 1, n + 2,..., n + T), можно найти перспективный объем перевозок грузов какой-то заданный период прогноза Т (год, квартал).

При выборе формы линии (функции) и сглаживании уровней временной рядов (нелинейная или линейная зависимость), необходимо руководствоваться соображениями, что если абсолютные приросты уровней ряда динамики более или менее постоянные, то есть изменяются приблизительно по арифметической прогрессии, то для сглаживания временных рядов используется линейная зависимость, уравнение которой выражается функцией прямой линии:

y_t= b₀ + b₁ * t,                                       (2.10)

где b₀, b₁– параметры уравнений (модели прогнозирования);

t-фактор времени;

- оценка уровня временного ряда.

При анализе тренда независимой переменной является время, а зависимой – уровень временного ряда.

Величины параметров зависимости b₀ и b₁ можно определить с помощью метода наименьших квадратов из системы уравнений:

∑y = b0*Т + b1*∑t ∑ty = b0*∑t + b1*∑t2                                                           (2.11)

 

где Т - количество наблюдений (лет в динамическом ряду).

Метод наименьших квадратов позволяет определить параметры зависимости заданного вида таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений фактических значений от теоретических (рассчитанных по уравнению зависимости) была минимальной.

Для расчета параметров зависимости b₀ и b₁ используется вспомогательная таблица 2.1.

 

Таблица 2.1 ̶ Вспомогательная таблица для определения параметров зависимости b₀ и b₁

t	y	t2	t*y
1 2 … 5 6	1700 1800 … 2400 2500
∑t	∑y	∑t2	∑ty

 

Если тренд является линейным, то по методу наименьш

         (2.12) их квадратов параметры уравнения b₀ и b₁ решением системы уравнений определяются по формулам:    

                         (2.13)

 

,               (2.14) 

,                   (2.15)

T – общее число наблюдений во временном ряду (длина временного ряда);

- наблюденное значение временного ряда за период t.

После определения параметров уравнения определяют прогнозное значение показателя по формуле:

,                  (2.16)

где Т – последний год в ряду наблюдений;

k – количество лет вперед, на которые необходимо получить прогноз.