Метод контурных токов

При расчете сложных электрических цепей целесообразно применить метод контурных токов. При решении методом контурных токов количество уравнений определяется числом независимых контуров. В нашем случае таких контуров три: bаdkb, асlda и mncabm. Расчет сложных электрических цепей методом контурных токов ведется следующим образом:

1. Вводя понятие «контурный ток», произвольно задаемся на­правлением этих токов. Удобнее все токи указать в одном направлении, например, по часовой стрелке (рис. 2.4).

2. Составляем для каждого контура уравнение по второ­му закону Кирхгофа. Обход контуров производим по часовой стрелке:

первый контур:

                                                        (2.5)

второй контур:

                                              (2.6)

третий контур:

                                                     (2.7)

3. Решая совместно уравнения (2.5), (2.6), (2.7), определяем контурные токи. В том случае, когда контурный ток получается со знаком «минус», это означает, что его направление противоположно выбранному на схеме.

4. Токи во внутренних ветвях схемы определяются как сумма или разность соответствующих контурных токов. В том случае, когда контурные токи в  ветви совпадают, берут сумму, а когда направле­ны навстречу - токи вычитают.

5. Токи во внешних ветвях схемы равны по величине соответствующим контурным токам.

Пример. Рассчитать сложную цепь постоянного тока для схемы, изображенной на рис. 2.4. Задано: Е₁ = 100 В, Е₂ = 120 В,    r₀₁ = = r₀₂ = 0,5 Ом, r₁ = 5 Ом, r₂ = 10 Ом, r₃ = 2 Ом, r₄ = 10 Ом. Определить токи в ветвях цепи.

Решение. Используя уравнения (2.5), (2.6) и (2.7), получаем:

Выразив I_k3 через I_k1 и I_k2:

и произведя соответствующие подстановки, получаем:

Совместное решение полученных уравнений дает:

                              

Определяем токи в ветвях:

I₁ = I_k1 - I_k3 = - 5,2 + 14,4 = 9,2 А;

                       I₂= I_k3 - I_k2 = - 14,4 +33,5 = 19,1 А;

                       I₃= I_k1 - I_k2 = -5,2 +33,5 =28,3 А;

 I₄= - I_k3 = 14,4 А; I₅ = - I_k1 = 5,2 А;

                                  I₆ = - I_k2 = 33,5 А.

Метод двух узлов

На практике часто используются цепи, в которых параллельно включены несколько источников энергии и приемных устройств. Такие цепи удобно анализировать с помощью метода узлового напряжения (напряжения между двумя узлами).

                    

                                           Рис. 2.5

Пример. Найти токи цепи (рис. 2.5) и показание вольтметра, если r₁ = r₂ = r₃ = r₄ = 10 Ом. Е₁ = 10 В, Е₂ = 18 В, Е₃ = 10 В.

Решение. Найдем узловое напряжение U_ab (показание вольтметра):

 

 

При этом учитываем, что с плюсом записываются эдс, направленные к узлу «а», с минусом – эдс, направленные от узла «а».

Токи в ветвях определяются по закону Ома:

 

                   

             

Знаки «плюс» или «минус» выбираются в соответствии с зако­ном Ома для ветви с источником. Если направление эдс и напряжения сов­падают с направлением тока, то берется знак «плюс», в противном случае – знак «минус».

Проверяем правильность расчета токов по первому закону Кирхгофа для узла «а»

I₁ – I₂ + I₃ – I₄ = 0