Дифференциальные уравнения движения твердого тела

Дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения твердого тела представляют собой совокупность уравнений поступательного движения плоской фигуры вместе с центром масс и вращательного движения относительно оси, проходящей через центр масс:

 

Пример:

Дано: r = 0,6 R, , , , a=30^о, b=60^о.

a

О

В

у

х

b

С

Найти:  – закон движения центра масс,  – наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение без скольжения.

РЕШЕНИЕ:

Барабан совершает плоскопараллельное движение под действием сил , , ,  (направление  произвольно). Составим дифференциальные уравнения плоскопараллельного движения:

;  (1)

;               (2)

;               (3)

(положительное направление моментов в направлении вращения барабана при его движении от т. О).

1) Определение . В нашей задаче  и . Учтем, что  и при качении без скольжения в т. В находится мгновенный центр скоростей. Тогда

,  или .         (4)

Тогда из уравнения (3)

,                           (5)

Сложив его почленно с (1) получим

=  = .

Отсюда, т.к. , .

Интегрируем:

и .

По начальным условиям при  и  получаем . Окончательно закон движения центра масс принимает вид

.

2) Определение . При качении без скольжения сила трения должна удовлетворять неравенству

.                                           (6)

Из уравнения (2), учитывая, что ,

=  =

Из уравнения (5), учитывая, что

.

Отсюда, т.к. , то  

Подставим значения  и  в неравенство (6) , откуда . Таким образом, наименьший коэффициент трения, при котором возможно качение барабана без скольжения

.

 

ПРИНЦИП ВОЗМОЖНЫХ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ