Принцип возможных перемещений (принцип Лагранжа)

Пусть материальная система находится в равновесии. Силы, действующие на каждую ее точку, уравновешиваются. Если – равнодействующая всех активных сил, приложенных к k -той точке, а – реакция связей этой точки, то .

Дадим системе какое-нибудь возможное перемещение. Все точки ее получат перемещения δ S ₁, δ S ₂, δ S ₃,…, δ S_k.

Затем вычислим работу всех сил на этих перемещениях.

Так как силы, приложенные к каждой точке уравновешиваются и , то сумма работ этих сил на перемещении δ S_k будет равна нулю: . Значит и сумма работ всех сил, приложенных ко всем точкам, будет равна нулю .

Если связи идеальные, то вторая сумма всегда равна нулю. Значит,

                                     (1)

Этот результат, уравнение работ, называют общим уравнением статики.

При равновесии материальной системы с идеальными и стационарными связями сумма работ всех активных, задаваемых, сил на любом возможном перемещении системы из положения равновесия равна нулю.

Если у системы есть неидеальные связи, например, с трением, или упругие, вроде пружины, то в уравнение работ надо добавить возможную работу реакций этих связей.

Принцип возможных перемещений можно записать в другой форме.

Если возможные перемещения точек определить с помощью возможных скоростей: , где время - произвольная бесконечно малая величина, то уравнение работ запишется так , а, поделив его на δ t получим

,                                  (2)

где – углы между направлениями сил и направлениями векторов возможных скоростей точек приложения сил.

Равенство (2)можно назвать принципом возможных скоростей, уравнением мощностей. Оно иногда бывает более удобным, так как используются конечные величины скоростей, а не бесконечно малые перемещения.