Колебания одномерной решетки с базисом

Пусть линейная цепочка состоит из атомов двух сортов с массами m₁ и m₂, т.е. одномерная решетка с базисом 2 (рис. 5.6) (Ge, Si, A³B⁵ и др.). Пусть коэффициент квазиупругой силы b всюду одинаков. Тогда уравнения движения обоих сортов атомов:

           (5.20)

           (5.21)

Решение этих уравнений будем искать в виде:

                           (5.22)

Подставляя (5.22) в (5.21) и (5.20), получаем:

                                                      (5.23)

Эта система имеет решение относительно А ₁ и А ₂, если детерминант ее равен нулю, т.е.

              (5.24)

Так как e^ika + e^–ika = 2 Cos ka; 1 – Cos ka = 2Sin²(ka /2), то

           (5.25)

,                     (5.26)

где

;        

 

 

Рис. 5.6. Линейная цепочка двух разных атомов

 

Таким образом, существует два корня уравнения (5.23):

 оптич.    (5.27)

 акустич. (5.28)

Проанализируем оптическую и акустическую моды колебаний. Частоты колебаний при q = 0:

;                     (5.29)

Каждому значению l (k) соответствуют две моды колебаний (два значения).

Из (5.22) и (5.23) для k = 0:

                   (5.30)

Все атомы колеблются в фазе.

            (5.31)

Атомы смещаются в противофазе (рис.5.7).

 

 

 

Рис. 5.7. Акустические и оптические колебания разных атомов

 

При малых k @ 0 можно считать и, разлагая корни (5.27) и (5.28) в ряд дважды, получим:

,            (5.32)

т.е. с ростом k w_оп уменьшается квадратично.

,     

Для акустических колебаний:

(5.33)

_{ф ак} = _{гр ак} = _зв

Оптические колебания меняют электрический дипольный момент заряженных атомов, что ведет к поглощению или испусканию ИК-излучения.

При k_max = p/ a из (5.27) и (5.28):

                                     

                            (5.34)

 

Спектры акустических и оптических колебаний показаны на рис. 5.8. Возможно появление зоны запрещенных энергий (частот).

 

Рис. 5.8. Спектр колебаний линейной цепочки атомов с базисом 2

Краткие выводы

1) Колебания однородной струны характеризуются непрерывным спектром энергий от 0 до ¥ и непрерывным изменением k от 0 до ¥. w = × k.

2) В одноатомной линейной цепочке устойчиво существует набор нормальных дискретных мод для  (первой зоны Бриллюэна).

3) Нормальные частоты первой зоны Бриллюэна периодически повторяются через . Граница зоны Бриллюэна определяется l_max = 2 a, тогда как l_min = 2 L (длина цепочки).

4) На границе зоны Бриллюэна _гр = 0 (стоячая волна). периодичность свойств является следствием граничных циклических условий Борна-Кармана и периодического расположения атомов в цепочке.

5) В одномерной решетке с базисом распространяется два типа колебаний: акустические (в фазе) и оптические (в противофазе). При k = 0 w_ак = 0, w_оп = w_о.