Рис. 5.3. Линейная цепочка одинаковых атомов

Сместим из равновесия атом с номером n на расстояние U_n. По цепочке пройдет волна сжатия. Найдем уравнение движения n -го атома. Пусть его смещение U_n (x, t) невелико по сравнению с a, т.е. силы со стороны соседей можно считать квазиупругими и согласно закону Гука они пропорциональны смещениям. Действие силы Гука уравновешивается обычной силой Ньютона. Учтем только ближайшие атомы:

(5.8)

Соответствующее уравнение движения:

(5.9)

Решение (2) ищем в виде бегущей волны:

, (5.10)

где U₀ – амплитуда;

;

w – круговая частота.

Подставив (5.10) в (5.9), имеем:

, (5.11)

так как

тогда

(5.12)

Это периодическая функция, w – четная функция k: w ²(k) = w ²(– k) (рис. 5.4).

Рис. 5.4. Зависимость частоты колебаний w цепочки атомов от волнового вектора

Из (5.12) следует, что все атомы колеблются с дискретными частотами w, зависящими от (; ).

(5.13)

, (5.14)

с другой стороны w _max» _зв × k _max = _зв ×(p/ a).

w _max = 5×10³ м/с×10¹⁰ м^–1 @ 5×10¹³ с^–1.

Из рис. 5.5 видно, что короткие волны распространяются медленнее, чем длинные, из-за инерции масс частиц цепочки. Для длинных волн (k мало) фазовая скорость:

(5.15)

Рис. 5.5. Групповая _гр и фазовая скорости распространения колебаний в цепочке атомов

Так как скорость звука зависит от l: (дис-персия), то распространение характеризуется фазовой и групповой _гр скоростями:

, (5.16)

при

(5.17)

Фазовая скорость характеризует перемещение фазы колебаний. При малых значениях k: = _гр = _зв.

Групповая скорость характеризует перемещение вещества или перенос энергии колебаний и при : _гр = 0, т.е. при этих условиях образуются стоячие волны и энергия не переносится.

В бесконечной цепочке трудно определить граничные условия, но такую цепочку можно смоделировать кольцом, таким образом, что последний атом n = N находится на расстоянии a от первого n = 1.

Это периодические граничные условия Борна-Кармана (условия цикличности):

U_n+N = U_n,

т.е. из (5.10)

(5.18)