Функция распределения и статистика фононов

Фононы (нормальные гармонические колебания решетки) квазичастицы, описываемые квантовой статистикой Бозе-Эйнштейна (целый спин или 0). .

; D n = ± 1

Для данной частоты w_k интервалы одинаковы и равны .

Фазовое пространство квантовано с размером минимальной ячейки h ³ (D p_x D x ~ h, D E D t ~ ). Энергия фононов зависит от их частоты w и квантовых чисел n фононных состояний. В состоянии теплового равновесия при Т средние значения квантовых чисел < n > или числа фононов даются формулой Планка для одной фазовой ячейки:

                              (5.36)

Чтобы вывести эту формулу, учтем распределение осцилляторов в состоянии теплового равновесия по разным соседним состояним (n + 1) и n: так как – вероятность состояния n, фактор Больцмана:

                      (5.37)

Отношение числа осцилляторов в n -ом состоянии к общему числу всех осцилляторов в твердом теле:

           (5.38)

Cреднее значение квантового числа < n > в возбужденном состоянии s:

                        (5.39)

Это среднее число фононов с частотой w (число заполнений данной моды w).

В знаменателе стоит сумма членов бесконечной геометрической прогрессии:

                   (5.40)

В числителе:

     (5.41)

Тогда

                              (5.42)

Это и есть формула Планка (5.36), при этом:

, высокие температуры

, низкие температуры

Средняя энергия осциллятора с частотой w:

                       (5.43)

Энергия набора осцилляторов с различными частотами w_k:

                       (5.44)

при малых сумма переходит в интеграл.

Тогда полная энергия фононов в кристалле:

,               (5.45)

где – плотность состояний.           (5.46)

Плотность состояний G (E) численно равна числу состояний dz в единичном интервале dE = 1.

Для шара ;

 (три поляризации фононов) (5.47)

Так как

,                  (5.48)

подставляя Е в (5.47):

                (5.49)

Полное число состояний в кристалле:

Подставляя (5.49) в (5.45), с учетом (5.42) получим среднюю энергию фононов в кристалле:

    (5.50)

 

Краткие выводы

1) В трехмерной кристаллической решетке существует 3 SN волн, из которых три волны акустические и (3 S – 3) – оптические.

2) Cобственные колебания атомов кристаллической решетки можно описать с помощью квазичастиц – фононов, которые подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна.

3) Среднее число фононов с частотой w описывается формулой Планка , а средняя энергия осцилляторов с частотой w:

.