Рис. 5.1. Однородная бесконечная струна

ДИНАМИКА КРИСТАЛЛИЧЕСКОЙ РЕШЕТКИ

 

Процессы колебания атомов кристалла связаны с такими физическими явлениями, как распространение звука, тепла, с теплоемкостью и диффузией атомов, с тепловым расширением твердых тел и др. Электропроводность тоже зависит от колебаний атомов.

 

Колебания атомов кристаллической решетки

Атомы твердого тела колеблются относительно положения равновесия при любых температурах, в том числе и при 0 К (нулевые колебания). При малых амплитудах (в области, описываемой параболой) колебания можно считать гармоническими. Найдем закон дисперсии w = f () или .

 

Одномерные колебания однородной струны

Рассмотрим распространение продольных волн в однородной неограниченной струне с линейной плотностью r (рис. 5.1). На элемент толщиной D х действуют силы Ss (x) слева и Ss (x + D х) справа, где S – площадь, s (x) – нормальное упругое напряжение. Таким образом на элемент D х действует результирующая сила

.                       (5.1)

Под действием этой силы происходит смещение U (x, t) центра масс элемента D х и с учетом второго закона Ньютона уравнение движения будет:

     (5.2)

 

Рис. 5.1. Однородная бесконечная струна

 

           (5.3)

 

Так как в соответствии с законом Гука s = Еe = Е , то при D х ® 0

.                              (5.4)

Волновое уравнение для упругих волн, распространяющихся вдоль струны:

                            (5.5)

Решение уравнения (5.5) – бегущая продольная монохроматическая волна:

. (5.6)

Подставив (5.6) в (5.5), получим:

 ,                    (5.7)

т.е. w линейно и непрерывно зависит от k (рис.5.2).

Продольная скорость распространения упругой волны:

.                         (5.7)

Типичное значение  = 5×10³ м/c (железо).

 

 

Рис. 5.2. Зависимость частоты w (энергии ) колебаний струны от волнового вектора

 

Так как k меняется от 0 до ¥, то и w меняется от 0 до ¥ непрерывно. Так же меняется и энергия колебаний E = . Угол наклона w = f (k) пропорционален скорости .

 

Колебания одноатомной линейной цепочки

В качестве одномерной модели твердого тела рассмотрим цепочку из N одинаковых атомов массой m и межатомным расстоянием a, которые могут перемещаться только вдоль оси х. Таким образом каждый атом обладает одной степенью свободы, а вся система N cтепенями свободы (рис. 5.3).