2020-10-12
91
1. В параллелограмме ABCD даны векторы 
и 
Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях параллелограмма
ABCD.
2. Даны три вершины параллелограмма 
, 
, 
. Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь
параллелограмма).
3. Найти площадь треугольника с вершинами 
, 
, 
(средствами векторной алгебры).
4. Найти площадь треугольника с вершинами 
, 
, 
(средствами векторной алгебры).
5. Даны три вершины треугольника: 
, 
, 
. Найти его высоту, приняв ВС за основание (через площадь треугольника).
6. На векторах 
и 
построен параллелограмм. Найти
площадь параллелограмма, сторонами которого являются диагонали данного параллелограмма.
7. Даны векторы 
и 
. Найти вектор 
перпендикулярный к векторам 
если модуль вектора 
численно равен площади треугольника, построенного на векторах 
и тройка векторов 
левая.
8. Даны точки 
, 
, 
Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и (
).
9. На векторах 
и 
построен параллелограмм. Найти высоту, опущенную на основание 
(через площадь).
10. В треугольнике ABC, где 
, 
найти длину высоты, опущенной на сторону AB (через площадь треугольника; средствами векторной алгебры).
11. На векторах 
и 
построен параллелограмм. Найти площадь параллелограмма, построенного на диагоналях данного параллелограмма.
12. В треугольнике с вершинами , 
и 
точка E делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника АСЕ (средствами векторной алгебры).
13. Найти площадь параллелограмма со сторонами 
если
14. Найти площадь треугольника со сторонами 
если 
,
и 
15. Дан треугольник с вершинами 
, 
и 
. Вычислить площадь треугольника и высоту, опущенную из вершины А (средствами векторной алгебры).
16. Даны векторы 
и 
Найти вектор 
, который пер-
пендикулярен векторам 
, если длина его численно равна площади треуго-
льника, построенного на векторах , и тройка векторов 
правая.
17. Даны точки 
, 
и 
. Вычислить площадь треугольника и высоту, опущенную из вершины С (средствами векторной алгебры).
18. В треугольнике с вершинами , 
и точка E делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника ВСЕ (средствами векторной алгебры).
19. Даны точки , 
и 
. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
и 
20. Даны три вершины треугольника: 
, 
, 
. Вычислить его высоту, опущенную из вершины В (через площадь, средствами векторной алгебры).
21. Дан треугольник с вершинами 
, 
и 
. Найти его высоту, опущенную из вершины А (через площадь, средствами векторной алгебры).
22. Даны векторы 
и 
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах 
23. Даны векторы 
и 
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах 
24. Найти площадь параллелограмма, построенного на векторах 
где 
25. В треугольнике с вершинами 
, и 
точка E делит сторону АВ пополам. Найти площадь треугольника АСЕ (средствами векторной алгебры).
26. Даны векторы 
и 
Найти вектор 
, который перпендикулярен векторам 
если модуль вектора численно равен площади треугольника, построенного на векторах 
, и тройка векторов 
левая.
27. Даны точки 
, 
и 
. Найти длину высоты треугольника АВС, опущенной из вершины С (через площадь, средствами векторной алгебры).
28. Даны три вершины параллелограмма 
, 
и 
. Найти длину высоты, опущенной из вершины С (через площадь, средствами векторной алгебры).
29. На векторах 
и 
построен параллелограмм. Найти площадь параллелограмма, построенного на его диагоналях.
30. Даны векторы 
, 
и 
Вычислить площадь треугольника, построенного на векторах 
Задача 4. Если даны координаты 
, то смешанное произведение векторов вычисляют по формуле
.
Объемы параллелепипеда и тетраэдра (треугольной пирамиды), построенных на векторах 
находятся с помощью смешанного произведения векторов:
, 
Если 
> 0, то тройка векторов 
- правая.
Если 
< 0, то тройка левая.
Если 
= 0, то векторы 
компланарны.
Пример 4. Дан параллелепипед 
построенный на векторах 
и 
Найти высоту, проведенную из вершины 
на грань ABCD.
Объем 
равен произведению площади основания на высоту:
находится также по формуле 
, поэтому
.
Вычислим векторное произведение 
=
Тогда 
