Контрольная работа
«Векторная алгебра»
Если известны координаты точек и , то координаты вектора
Разложение этого вектора по ортам :
Длина вектора находится по формуле а направляющие косинусы равны Орт вектора
Пример 1. Даны точки
Разложить вектор по ортам и найти его длину, направляющие косинусы, орт вектора . Найдем координаты векторов:
и
Вектор
Контрольные варианты к задаче 1. Даны точки А, В и С. Разложить вектор по ортам Найти длину, направляющие косинусы и орт вектора .
1. | 2. | ||
3. | . | 4. | |
5. | 6. | ||
7. | 8. | ||
9. | 10. | ||
11. | 12. | ||
13. | 14. | ||
15. | 16. | ||
17. | 18. | ||
19. | 20. | ||
21. | 22. | ||
23. | 24. | ||
25. | 26. | ||
27. | 28. | ||
29. | 30. |
Задача 2. Если даны векторы то .
Тогда ; проекция вектора на направление вектора , условие перпендикулярности ненулевых векторов выглядит следующим образом:
Условие коллинеарности векторов: .
|
|
Пример 2. Даны вершины треугольника Найти угол при вершине А и проекцию вектора на сторону АС. С
Внутренний угол при вершине А образован векторами ,
А В
Тогда
Проекция на направление вектора :
Контрольные варианты к задаче 2
1. Даны векторы и Найти
2. Найти косинус угла, образованного вектором и осью OZ.
3. Даны векторы и . Найти косинус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах .
4. Даны векторы и . Вычислить
5. Найти косинус угла, образованного вектором и осью ОУ.
6. Даны векторы и . Найти косинус угла, образованного вектором и осью ОХ.
7. Даны векторы и . Найти
8. Вычислить проекцию вектора на ось вектора .
9. Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и .
10. Определить, при каком значении m векторы и перпендикулярны.
11. Определить, при каком значении векторы и взаимно перпендикулярны.
12. Даны вершины треугольника: . Определить внутренний угол при вершине В.
13. Даны вершины треугольника: . Определить внутренний угол при вершине А.
14. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию
15. Даны две точки и Вычислить проекцию вектора на ось вектора
16. Даны векторы: и . Вычислить
17. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах , .
18. Даны три вектора: , , . Найти
19. Даны три вектора: , , . Найти
20. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах и
|
|
21. Даны три вектора: , , . Вычислить
22. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам и
и удовлетворяет условию
23. Найти вектор , коллинеарный вектору и удовлетворяющий условию
24. Даны вершины треугольника: Определить внешний угол при вершине А.
25. Даны вершины треугольника: Определить внешний угол при вершине А.
26. Дан вектор и точки и Найти
27. В треугольнике с вершинами Определить внутренний угол при вершине А.
28. Даны векторы и Найти проекцию вектора на направление вектора
29. Даны вершины треугольника: Найти проекцию вектора на сторону
30. Даны векторы Найти проекцию вектора на вектор
Задача 3. Площадь параллелограмма, построенного на векторах
можно найти по формуле а площадь треугольника, построенного
на этих векторах:
Пример 3. Даны вершины треугольника Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С.
. Находим векторы
Векторное произведение
Так как где длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, .