2020-10-12
97
Контрольная работа
«Векторная алгебра»
Если известны координаты точек 
и 
, то координаты вектора 
Разложение этого вектора по ортам 
: 
Длина вектора находится по формуле 
а направляющие косинусы равны 
Орт вектора 
Пример 1. Даны точки 
Разложить вектор 
по ортам 
и найти его длину, направляющие косинусы, орт вектора 
. Найдем координаты векторов:
и 
Вектор 
Контрольные варианты к задаче 1. Даны точки А, В и С. Разложить вектор по ортам 
Найти длину, направляющие косинусы и орт вектора .
| 1. | 
| 2. | 
|
| 3. | . 
| 4. | 
|
| 5. | 
| 6. | 
|
| 7. | 
| 8. | 
|
| 9. | 
| 10. | 
|
| 11. | 
| 12. | 
|
| 13. | 
| 14. | 
|
| 15. | 
| 16. | 
|
| 17. | 
| 18. | 
|
| 19. | 
| 20. | 
|
| 21. | 
| 22. | 
|
| 23. | 
| 24. | 
|
| 25. | 
| 26. | 
|
| 27. | 
| 28. | 
|
| 29. | 
| 30. | 
|
Задача 2. Если даны векторы 
то 
.
Тогда 
; проекция вектора 
на направление вектора 
, условие перпендикулярности ненулевых векторов выглядит следующим образом: 
Условие коллинеарности векторов: 
.
Пример 2. Даны вершины треугольника 
Найти угол при вершине А и проекцию вектора 
на сторону АС. С
Внутренний угол при вершине А образован векторами 
,
А В
Тогда 
Проекция на направление вектора : 
Контрольные варианты к задаче 2
1. Даны векторы 
и 
Найти 
2. Найти косинус угла, образованного вектором 
и осью OZ.
3. Даны векторы 
и 
. Найти косинус угла между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах 
.
4. Даны векторы 
и 
. Вычислить 
5. Найти косинус угла, образованного вектором 
и осью ОУ.
6. Даны векторы 
и 
. Найти косинус угла, образованного вектором 
и осью ОХ.
7. Даны векторы 
и 
. Найти 
8. Вычислить проекцию вектора 
на ось вектора 
.
9. Определить угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах 
и 
.
10. Определить, при каком значении m векторы 
и 
перпендикулярны.
11. Определить, при каком значении 
векторы 
и 
взаимно перпендикулярны.
12. Даны вершины треугольника: 
. Определить внутренний угол при вершине В.
13. Даны вершины треугольника: 
. Определить внутренний угол при вершине А.
14. Найти вектор 
, коллинеарный вектору 
и удовлетворяющий условию 
15. Даны две точки 
и 
Вычислить проекцию вектора 
на ось вектора 
16. Даны векторы: 
и 
. Вычислить 
17. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах 
, 
.
18. Даны три вектора: 
, 
, 
. Найти 
19. Даны три вектора: 
, 
, 
. Найти 
20. Найти острый угол между диагоналями параллелограмма, построенного на векторах 
и 
21. Даны три вектора: 
, 
, . Вычислить 
22. Найти вектор , зная, что он перпендикулярен векторам 
и 
и удовлетворяет условию 
23. Найти вектор , коллинеарный вектору 
и удовлетворяющий условию 
24. Даны вершины треугольника: 
Определить внешний угол при вершине А.
25. Даны вершины треугольника: 
Определить внешний угол при вершине А.
26. Дан вектор 
и точки 
и 
Найти 
27. В треугольнике с вершинами 
Определить внутренний угол при вершине А.
28. Даны векторы 
и 
Найти проекцию вектора 
на направление вектора 
29. Даны вершины треугольника: 
Найти проекцию вектора на сторону 
30. Даны векторы 
Найти проекцию вектора 
на вектор 
Задача 3. Площадь параллелограмма, построенного на векторах 
можно найти по формуле 
а площадь треугольника, построенного
на этих векторах: 
Пример 3. Даны вершины треугольника 
Найти его площадь и длину высоты, опущенной из вершины С.
. Находим векторы 
Векторное произведение 
Так как 
где 
длина высоты, опущенной из вершины С на сторону АВ, 
. 
