Интегрирование рациональных функций

Определение: Рациональная дробь называется правильной, если степень многочлена в числителе меньше степени многочлена в знаменателе. В противном случае рациональная дробь называется неправильной.

Выделяя из неправильной дроби ее целую часть (путем деления числителя на знаменатель), всегда можно представить ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби.

Разложение конкретной правильной рациональной дроби на сумму элементарных дробей обычно производят методом неопределенных коэффициентов. Для этого разлагают знаменатель на произведение линейных и квадратичных множителей, представляют данную дробь в виде суммы дробей с неопределенными коэффициентами в числителях. Затем приводят элементарные дроби к общему знаменателю и приравнивают многочлен, получившийся в числителе, многочлену .

Для того чтобы два многочлена были тождественно равны, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты при одинаковых степенях у них были равны. Получаем тем самым систему алгебраических уравнений для нахождения неопределенных коэффициентов.

Пример 10.

Найти интеграл

Запишем подинтегральную функцию в виде суммы простейших дробей и приведем к общему знаменателю, имеем

Раскрываем скобки и приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях

Решая эту систему, находим:

, ,

отсюда:

Интегрирование тригонометрических выражений

Определение: Рациональной функцией относительно и называется отношение двух многочленов относительно и .

В дальнейшем символом будем обозначать рациональную функцию относительно переменных и . Будем говорить, что функция – нечетная относительно , если при замене на функция меняет знак, т.е. . Если , то будем говорить, что такая функция нечетна относительно .

Функция четна относительно и , если при одновременной замене на , на функция не изменяется, т.е. .

Заметим, что любая тригонометрическая функция аргумента рационально выражается через тангенс половинного угла. Действительно,

, а так как , , , рационально выражаются через и , то они рационально будут выражаться и через .

Теорема 1. Интеграл вида подстановкой приводится к интегралу от рациональной функции , который, как было указано выше, всегда выражается в элементарных функциях.

Пусть , тогда , , ,

Данная подстановка называется универсальной подстановкой.

Применим универсальную подстановку

Пример 11.

Теорема 2. Если функция нечетна относительно , то интеграл подстановкой приводится к интегралу от рациональной функции.

Теорема 3. Если имеет нечетный характер относительно , то подстановкой интеграл приводится к интегралу от рациональной функции.

Пример 12.

Подинтегральная функция нечетна относительно . Применим подстановку , тогда .

Пример 13.

Теорема 4. Если имеет четный характер относительно и , то интеграл подстановкой приводится к интегралу от рациональной функции.

Пример 14.

На практике при интегрировании тригонометрических функций часто еще используют известные формулы тригонометрии:

, и другие.

Пример 15.

Пример 16.

Пример 17.

Интегрирование иррациональных функций

Простейшие интегралы от функций, содержащие иррациональности, являются табличными, либо сводятся к табличным с использованием свойств интеграла и замены переменной. В более сложных случаях основной подход состоит в сведении искомого интеграла к интегралу от рациональной функции с помощью подходящей замены переменной.

Теорема 1. Интеграл вида , где – натуральное число подстановкой приводится к интегралу от рациональной функции или, как говорят, «рационализируется».