Интегрирование по частям

Пусть  и  непрерывно дифференцируемы на некотором промежутке. Тогда . Эта формула называется формулой интегрирования по частям. Правильнее было бы назвать ее формулой частичного интегрирования. При известных  и  она сводит нахождение интеграла от  после частичного интегрирования к нахождению интеграла от .

Сущностью метода интегрирования по частям главным является разумное разбиение подинтегрального выражения на множители  и . Общих установок по этому вопросу нет. Однако для некоторых типов интегралов, сделать это возможно.

I тип. В интегралах вида , , , где  – многочлен относительно ,  – число за  берут , все остальные множители обозначают .

II тип. В интегралах вида , , , ,  полагают , все остальные за .

III тип. В интегралах вида , , где  и  – числа можно принять за   любую функцию или   или .

Пример 4.

 

Пример 5.

Иногда для получения окончательного результата приходится несколько раз последовательно применять формулу интегрирования по частям.

Пример 6.

Вычислим  отдельно, используя формулу интегрирования по частям

Окончательно получаем:

, где

Нахождение некоторых интегралов методом интегрирования по частям сводится к решению алгебраического уравнения, в котором неизвестным является искомый интеграл. Это относится к вычислению интегралов III типа.

Пример 7.

Вычислим отдельно  

Подставим полученное выражение в искомое:

Раскрыв скобки, приведя подобные слагаемые, получим

, отсюда .

Общие приемы интегрирования

Интегрирование элементарных функций

Элементарными дробями называются дроби следующих четырех типов:

I)              II)            III)              IV) , где и – натуральные числа, , , .

Интегралы I)  и II)  подстановкой  сводятся к табличным интегралам:

I. ,

II. .

Интегралы III)  и IV)  также сводятся к табличным, путем более сложных (в техническом плане) упражнений и подстановок.

Пример 8.

Пример 9.