Вопросы для самоконтроля по теме

«Определенный  интеграл»

1. Определение определенного интеграла и его геометрический смысл.

2. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона-Лейбница.

3. Свойства определенного интеграла.

4. Нахождение площади криволинейной трапеции.

5. Нахождение объемов тел вращения с помощью определенного интеграла.

6. Метод подстановки при вычислении определенного интеграла.

7. Вычисление определенного интеграла методом интегрирования по частям.

8. Длина дуги кривой.

9. Площадь поверхности вращения.

Тема 8.  Обыкновенные  дифференциальные

уравнения

Задачи,  приводящие  к  дифференциальным  уравнениям.

Основные определения

При решении многих геометрических, физических и экономических задач приходится отыскивать неизвестную функцию по данному соотношению между этой неизвестной функцией, её производными и независимыми переменными.

Такое соотношение называется дифференциальным уравнением, а отыскание функции, удовлетворяющей уравнению, называется решением, или интегрированием, данного уравнения.

Рассмотрим несколько задач, приводящих к дифференциальным уравнениям.

Задача 1.

Найти кривую, обладающую тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится пополам в точке касания.

Решение:

Для решения этой задачи составим уравнение  – . Этому уравнению удовлетворяет функция  = , где  – любое число.

Для того, чтобы определить соответствующее значение постоянной , достаточно задать точку () через которую проходит одна из семейства равносторонних гипербол  = . Например, через точку (2;4) будет проходить та кривая семейства, для которой 4 = , т.е. = 8.

Задача 2. (задача о радиоактивном распаде).

Экспериментальным путем установлено, что скорость радиоактивного распада в каждый момент времени пропорциональна наличному количеству радиоактивного вещества. При этом предполагается, что количество радиоактивного вещества в породе настолько мало, что не вызывает цепной реакции. Требуется найти закон распада вещества, т.е. найти зависимость количества радиоактивного вещества в породе от времени .

Решение:

Пусть  количество радиоактивного вещества в породе в момент времени . Скорость измерения количества вещества равна . Обозначив через k положительный коэффициент пропорциональности, запишем основной закон радиоактивного распада в виде: = –  (знак «-» берется потому, что скорость распада  отрицательна).

Легко убедиться в том, что любая функция , где  – число, удовлетворяет этому уравнению.

Определение: Обыкновенным дифференциальным уравнением -го порядка называется соотношение вида ,…, , где  – функция определенная в некоторой области,  – независимая переменная  – искомая функция переменной , а  – её производные.

Порядком дифференциального уравнения называется порядок старшей входящей в него производной.

Решение дифференциального уравнения называется всякая функция , подстановка которой в это уравнение обращает его в тождество.

Решение дифференциального уравнения, заданное неявно соотношением , называют интегралом этого уравнения.

График решения дифференциального уравнения называется его интегральной кривой.