Методика эксперимента

Основные понятия

Простейшим типом колебания является гармоническое колебание, когда смещение тела от положения равновесия зависит от времени по закону синуса или косинуса (рис.1а):

          х=Asin(wt+j) или х=Acos(wt+j)                                                              (1)

где х – величина смещения тела от положения равновесия, А – амплитуда колебания – максимальное смещение от положения равновесия; амплитуда равна максимальному абсолютному значению х в момент t, когда функция sin или cos принимает значение ±1, wt+j- фаза колебания, определяющая положение колеблющегося тела в дан­ный момент.

Основные характеристики колебаний – амплитуда, частота, период. Частота колебаний равна числу полных ко­лебаний, совершаемых за единицу времени. Единицей частоты является Герц (Гц) – частота такого колебания, при котором за 1 с совершается одно полное колебание. Периодом колебаний называется промежуток времени, за который совершается одно полное колебание. Период связан с частотой соотношением Tn=1.

Циклическая или круговая частота колебания численно равна числу полных колебаний, совершаемых за 2p се­кунд: w=2pn.

Тело совершает гармонические колебания, когда на него действует упругая сила, пропорциональна величине смещения от положения равновесия

F= -kx,                                                                                              (2)

где k – коэффициент упругости. Знак минус указывает, что возвращающаяся сила направлена в сторону, проти­воположную смещению, то есть к положению равновесия.

Запишем для колеблющегося тела второй закон Ньютона: ma=F или

(3)

 Уравнение можно переписать                                                 

 

и ввести обозначение:

                                                                                                                                                                     (4)         

Тогда уравнение примет вид:  

                                                                                                                                                                     (5)

Это и есть дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Одним из решений такого уравнения явля­ется x=Acos(ωt+φо). Циклическая частота колебаний ωо называется циклической частотой собственных колеба­ний. Период таких колебаний: 

                                                                                                                                                                     (6)

При гармоническом колебательном движении кинетическая энергия колеблющейся материальной точки непре­рывно меняется. Меняется и потенциальная энергия между точкой и окружающими телами.

Кинетическая энергия колеблющейся точки массой m:

 Потенциальная энергия квазиупругих сил, отсчитываемая от положения равновесия данной материальной точки:

Где x – смещение колеблющейся точки от положения равновесия, k – коэффициент квазиупругой силы.

Полная энергия материальной точки, совершающей гармоническое колебание с частотой ω и амплитудой A:

В процессе движения происходит непрерывный переход кинетической энергии в потенциальную и обратно, но полная энергия – величина постоянная, она пропорциональна квадрату амплитуды колебаний.

Собственные гармонические колебания системы – это идеальный случай колебаний, когда энергия системой не теряется и амплитуда остаётся постоянной. В случаях реальных колебаний энергия, переданная системе, посте­пенно расходуется на преодоление сил сопротивления, поэтому амплитуда колебаний уменьшается, колебания затухают. Эти колебания называются затухающими (рис. 1 б, в). Их частота определяется свойствами колеблю­щейся системы – массой, возвращающейся силой, сопротивлением.

Если сила сопротивления среды пропорциональна скорости колебания, то второй закон Ньютона для колеблю­щейся точки запишется:

                                                                                                                                                                   (7)

Введём обозначения 2β=r/m; w²=k/m. Решение уравнения (7) имеет вид:

(8)

Амплитуда затухающих колебаний уменьшается по закону xоe (рис. 1б), частота затухающих колебаний

(9)

Если ωо <β, частота является мнимым числом и имеет место апериодический процесс – рис. 1в.

 

Рис.1

В случае затухающих колебаний энергия убывает по закону

(10)

Величина отношения энергии за время Т/2π=1/ω характеризует способность колебательной системы сохранять энергию и называется добротностью:

(11)

Добротность равна числу колебаний за время, за которое амплитуда уменьшается в е раз, а энергия в е раз.

 

 

Степень затухания колебания характеризуется логарифмическим декрементом, который определяет затухание колебаний за период:

(12)

Для изучения колебаний можно использовать физический или математический маятники.

Каждое тело, подвешенное в точке, лежащей выше его центра тяжести, может колебаться и представляет собой физический маятник. На рис. 2 изображен физический маятник, отклонённый от положения равновесия.

                                                                                                                                                            O

Через точку О перпендикулярно рисунку проходит неподвижная                                             lc  

ось, вокруг которой совершаются колебания, С – центр тяжести

 маятника (точка, в которой приложена сила тяжести mg).                                                                          α

Момент силы mg относительно оси О равен M=-mglс sinα, -

где l – расстояние от оси вращения до центра тяжести – точки С.

При малых углах отклонения, когда можно принять sinα=α, -

основной закон динамики вращательного движения, описывающий                                                        mg

колебания такого маятника, можно записать в виде:                                                               Рис.2

                                                                                                                                                                                        (13)

где J - момент инерции физического маятника относительно оси вращения.

 Это уравнение аналогично дифференциальному уравнению (5); величина mgl/J квадратом круговой частоты гармонических колебаний:

                                                                                                                                                                   (14)

Решение уравнения (13) α=αоcos(ωot+φ) описывает гармонические колебания, совершаемые физическим маятником. Период таких колебаний:

                                                                                                                                                                            (15)

Для математического маятника (математическим маятником называют колеблющееся тело размерами которого можно пренебречь по сравнению с расстоянием от центра масс тела до оси вращения) в случае малых углов отклонения дифференциальное уравнение колебаний выглядит:

(16)

Период колебаний математического маятника:

                                                                                                            (17)                                  O

Физический маятник, описываемый (13), колеблется с таким же периодом,                          lo

как и математический маятник, описываемый (16), имеющий длину lо =J/mlc,

 где lc - расстояние от О до С.

Приведенной длиной lо физического маятника называется                                                         С                          

 длина такого математического маятника, который имеет                                                                                          

тот же период колебаний, что и данный физический маятник.                                                  lo'                       O'

Если к оси физического маятника подвесить грузик на нити                                                   О'

 такой длины, чтобы она была равна приведенной длине

 данного физического маятника (рис.3), то отклоненные на                                                                  Рис.3

одинаковый угол физический маятник и грузик колеблются вместе, так что грузик всё время находится в одной и той же точке физического маятника – его центре качаний.

Приведенная длина lо всегда больше lс, то есть центр качаний всегда лежит ниже центра тяжести. По теореме Штейна момент инерции относительно оси маятника J=Jo+mlc², где Jо – момент инерции относительно оси, проходящей через центр тяжести. Поэтому приведенная длина будет

Точка подвеса и центр качаний обратимы. Теорема Гюйгенса: если физический маятник подвесить за центр качания, его период не изменится и прежняя точка подвеса будет новым центром качания. Докажем теорему Гюйгенса следующим образом. Расстояние CO' от центра тяжести до новой оси О' lс'=lo-lc, где lo=OO' – прежняя приведенная длина, lc=ОС – расстояние от центра тяжести до прежней оси. Поэтому новая приведенная длина будет равна:

                                                                                                                                                                   (18)

где J' – момент инерции маятника относительно оси О'.

По теореме Штейна J=Jo+m(lo-lc)², откуда

(19)

где Jo – момент относительно оси, проходящей через центр тяжести. Но, с другой стороны, так как lo=lc+Jo/mlc, подставив lo-lc=Jo/mlc в (19), получим:

(20)

Мы получили, что lo'=lo- обратимость точки подвеса и центра качаний.

 

 

Методика эксперимента

 

Оборотный маятник состоит из стального стержня, на котором закрепляются опоры 1 и 2 в виде призм и грузы 3 и 4.

 

 

                  Рис.4                                                                                                                              Рис.5

Метод оборотного маятника основан на сопряженности двух его точек: точки подвеса и центра качаний. Путём изменения расстояний между опорами или между грузами (на данной установке - перемещением груза 3 при неподвижных опорах и грузе 4) добиваются такого расположения грузов на стержне, чтобы период колебаний маятника при его переворачивании не изменился. При выполнении этого условия расстояние между опорами будет являться приведённой длиной маятника lo=L+x'.

Теоретически рассчитать положение центра масс физического маятника можно для упрощенной модели маятника (рис.5), состоящей из невесомого стержня с закрепленными на нем материальными точками 3 и 4. Если расстояние от груза 4 до опоры L, то расстояние от центра масс (точка С) до опор выразится:

(21)

Моменты инерции физического маятника относительно осей, могут быть рассчитаны по формулам:

(22)

                          Результаты измерений

 

№ опыта	x,м	t1,с	t2,с
1	0.04	12.60	13.10
2	0.05	13.02	13.50
3	0.06	13.30	13.59
4	0.07	14.61	14.50
5	0.08	14.83	14.34

 

Расстояние между опорами lo=0.3042 м

L=0,15

Построим графики зависимости t от x и найдем точку пересечения:

 

 

х'=0,0625

Найдем То, установив грузы 3 и 4 в положение х'=0,0625 и определим время 12 колебаний 12То маятника:

№ опыта	х', м	12То, с
1	0,0625	14,80
2		14,50
3		14,60
4		14,30
5		15,0