Дополнительным минором Mi j к элементу ai j квадратной матрицы A n -го порядка называется определитель матрицы n - 1-го порядка, которая получается из матрицы A путем вычеркивания i -ой строки и j -го столбца (на пересечении которых стоит элемент ai j).
Алгебраическим дополнением Ai j, элемента ai j называется величина
Ai j = (-1) i+j· Mi j.
Через Av обозначим матрицу (называемую присоединенной к матрице A), элементами которой являются алгебраические дополнения Ai j:
Av = (Ai j);
Тогда обратная матрица A -1 находится по формуле:
(4) |
Для матрицы A третьего порядка (3х3) обратная матрица A -1 имеет вид:
.
В типовом расчете рассматриваются матричные уравнения двух типов: X · A = B и A · X = B, где A – квадратная матрица с | A | ≠ 0.
Рассмотрим сначала уравнение X · A = B. Умножим обе части этого уравнения справа на матрицу A -1, тогда по определению обратной матрицы уравнение X · A · A -1 = B · A -1 равносильно уравнению
X · E = B · A -1 или X = B · A -1 | (5) |
Если в условии варианта дано уравнение A · X = B, то умножим обе части этого уравнения слева на матрицу A -1, тогда уравнение A -1 · A · X = A -1 · B равносильно уравнению
|
|
E · X = A -1 · B или X = A -1 · B | (6) |
Содержание типового расчета
Заданы квадратная матрица A и прямоугольная матрица B. Решить матричное уравнение вида X · A = B или A · X = B, где X – искомая матрица. Конкретный вид уравнения задан в каждом варианте. Провести поэтапный контроль: расчета обратной матрицы A -1 умножением A на A -1; найденного решения X подстановкой в исходное уравнение.
Пример выполнения типового расчета
Условие типового расчета | |||||||||||||||||
Вариант Уравнение | Матрица A | Матрица B | |||||||||||||||
930207 A * X = B |
|
|