Декартові прямокутні координати вектора. Довжина вектора

ЛЕКЦІЯ 3. ВЕКТОРНА АЛГЕБРА

1. Вектори. Операції над ними.

Вектором називається спрямований відрізок. Вектор з початком в точці і кінцем у точці позначається символом (або однією буквою , ,...).

Модулем (довжиною) вектора називається довжина відрізка і позначається, , .

Одиничним називається вектор, довжина якого дорівнює одиниці. Одиничний вектор позначають .

Нульовим називається вектор, довжина якого дорівнює нулю. Нульовий вектор позначається .

Колінеарними називаються вектори і , якщо вони лежать на одній прямій або на паралельних прямих; записують .

Компланарними називаються три (і більше) вектора, якщо вони лежать в одній площині або в паралельних площинах.

Рівними називаються два колінеарних вектори и (), якщо вони однаково спрямовані і мають рівні довжини.

Додавання векторів.

Сумою двох векторів і називається вектор , що з'єднує початок вектора з кінцем вектора , відкладеного від кінця вектора .

Добуток вектора на число.

Добутком вектора на число називається вектор, який має довжину і який має напрям вектора в разі та протилежний напрямок у разі .

Приклад.1. Дано вектори і . Побудуйте вектори: 1) 1) ; 2) .

Декартові прямокутні координати вектора. Довжина вектора.

Нехай вектор складає кут з віссю .

Проекцією вектора на вісь називається число, рівне довжині вектора (рис.1), взятої зі знаком «плюс», якщо напрям вектора збігається з напрямком осі і зі знаком «мінус» у противному випадку.

Проекцію вектора на вісь можна обчислити за формулою:

Декартовими прямокутними координатами вектора називаються його проекції на відповідні координатні осі .

Вектор з координатами записують у вигляді або, де - одиничні вектори координатних осей відповідно. Довжина вектора визначається за формулою:

Якщо вектор заданий точками і , то його координати обчислюються за формулами:

Приклад 2. Дано дві точки і . Знайдіть координати і довжину вектора .

За умовою задачі, , , , , , . Значить, .

Приклад 3. Дано два вектори и . Знайдіть координати і довжину вектора .

; ;

;

Поєднаємо паралельним переносом початок деякого вектора з початком координат прямокутної системи координат . Нехай - кути, які утворює вектор з осями координат відповідно (рис.2). Напрям вектора визначається за допомогою направляючих косинусів , , , для яких справедливі рівності: