Лінійна залежність і лінійна незалежність векторів. Розклад вектора по базису

Розглянемо систему векторів

Означення 4. Вектор називається лінійною комбінацією векторів , якщо існують такі числа , що

                             (1)

Означення 5. Вектори називаються лінійно залежними, якщо існують такі числа , серед яких не всі дорівнюють нулю (тобто ), що справджується рівність

                              (2)

Означення 6. Система векторів  називається лінійно незалежною, якщо рівність

                             (3)

                                   можлива лише при .

Теорема 1. Для того, щоб система векторів була лінійно залежна необхідно і достатньо, щоб один з її векторів був лінійною комбінацією інших, тобто лінійно виражався через інші вектори системи.

Геометричний зміст лінійної залежності векторів в R³, що інтерпретуються як напрямлені відрізки, пояснюють слідуючи теореми.

Теорема 2. Система, яка складається із одного вектора, лінійно залежна тоді і тільки тоді, якщо цей вектор нульовий.

Теорема 3. Для того, щоб два вектори були лінійно залежні, необхідно і достатньо, щоб вони були колінеарні.