Поняття вектора. Основні операції над векторами

Означення 1.   Впорядковану сукупність (х₁, х₂,..., х_n) n дійсних чисел називають n- вимірним вектором, а числа х_і (і= 1, 2,..., n) – компонентами, або координатами вектора

 

Приклад 1.  Якщо, деякий автомобільний завод повинен випустити за зміну 50 легкових автомобілів, 100 вантажних, 10 автобусів, 50 комплектів запчастин для легкових автомобілів і 150 комплектів запчастин для вантажних автомобілів і автобусів, то виробничу програму цього заводу можна записати у вигляді вектора (50, 100, 10, 50, 150), який містить п’ять компонентів.

 

Економічна ілюстрація. Економічна ілюстрація n – вимірного векторного простору: простір благ (товарів). Під товаром, ми будемо розуміти деяке благо або послугу, здійснюється продаж в визначений час в визначеному місці. Уявимо, що існує скінчене число наявних товарів n; якості кожного з них, придбаних споживачем, характеризуются набором товарів

х=( х₁, х₂,..., х_n )

де через х_і позначається  кількість і-го блага, набутого споживачем. Будемо рахувати, що всі товари володіють властивістю довільної подільності, так що може бути куплена будь-яка невід’ємна кількість кожного з них. Тоді всі можливі набори товарів являються векторами простору товарів

 С={ х=( х₁, х₂,..., х_n ) | х_і ≥ 0, і=1,2, …, n}

Тримірну або двомірну векторну величину геометрично можна зобразити напрямленим прямолінійним відрізком – вектором, довжина якого дорівнює числовому значенню векторної величини (у вибраному масштабі) і напрям співпадає з напрямом цієї величини. Вектор визначають двома точками: перша – це початок його, друга – кінець. Вектор, початком якого є точка А, а кінцем – точка В, позначається символом . Інколи вектор позначають однією рядковою буквою латинського алфавіту .

Довжиною або модулем в ектора  називається довжина відрізка АВ і позначається символом . Вектор називається нульовим, якщо початок і кінець його збігаються. Позначається нульовий вектор символом . Абсолютна величина нульового вектора дорівнює нулеві.

Вектори називаються колінеарними, якщо вони лежать на одній прямій, або на паралельних прямих. Два вектори називаються рівними, якщо вони колінеарні, мають однакові напрями і рівні модулі. Два колінеарні вектори, які мають однакову довжину і протилежні напрямки, називаються взаємнопротилежними. Вектор, протилежний вектору , позначається як . Вектор, довжина якого дорівнює одиниці, називається одиничним. Три і більше  векторів називаються компланарними, якщо вони паралельні одній площині або лежать в одній площині.

Над векторами можна виконувати певні математичні операції. Лінійними з них є додавання та множення вектора на число. Додавати вектори геометрично можна за правилом паралелограма та правилом трикутника.

Правило трикутника:

Рис.1

Правило паралелограма:

 

Рис.2

Властивості:

1. комутативність

 

2. асоціативність

3.

4.

Різницею вектора  і називається вектор  або , який в сумі з вектором  дає вектор , тобто

Рис.3

Означення 2. Добутком вектора на число ,  називають вектор , який задовольняє такі умови:

1) колінеарний ;

2) ;

3)  і однаково напрямлені, якщо і протилежно, якщо .

 

Властивості множення вектора на число:

1. розподільний закон відносно скаляра:

2. розподільний закон відносно вектора:

3. сполучний закон відносно скаляра:

 

Означення 3. Вектор, довжина, якого дорівнює одиниці, називається одиничним вектором або ортом вектора і позначається .