Застосування мішаного добутку векторів

Розглянемо задачі які при їх розв’язанні застосовується мішаного добутку векторів.

Задача 1. Обчислення об’єму тетраедра (трикутної піраміди) Об’єм трикутної піраміди АВСD становить одну шосту об’єму паралелепіпеда, побудованого на даних векторах , тобто

                                       (31)

 

Приклад 20. Знайти об’єм піраміди, вершини якої знаходяться в точках А(2; -1; 1), В(5; 5; 4), С(3; 2; -1), D(4; 1; 3).

Розв’язання:

Знаходимо координати векторів :

 далі обчислюємо їх мішаний добуток

Використовуючи формулу (30) отримаємо

Відповідь: Об’єм піраміди дорівнює

 

Приклад 21. Дано вершини тетраедра: А(2; 3; 1), В(4; 1; -2), С(6; 3; 7), D(9; -4; 8). Обчислити довжину висоти, опущеної з вершини D на площину АВС.

Розв’язання:

Знаходимо координати векторів , які збігаються з ребрами тетраедра

 далі обчислюємо їх мішаний добуток

Використовуючи формулу (30) отримаємо

З іншого боку

.                               (32)

де h – висота піраміди.

Використовуючи формулу (25) то площа ΔАВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах , тобто

Площа трикутника ΔАВС дорівнює половині площі паралелограма, побудованого на векторах :

Відповідь: Довжина висоти, опущеної з вершини D дорівнює 5 од.

 

ПИТАННЯ ПО ТЕМІ „ ВЕКТОРНА АЛГЕБРА ”

1. Означення, геометричне зображення та позначення вектора. Модуль вектора.

2. Нульові, одиничні, рівні, колінеарні, компланарні, протилежні вектори.

3. Лінійні операції над векторами: сума та різниця двох векторів (правила трикутника та паралелограма), добуток вектора на число.

4. Означення проекції вектора на вісь.

5. Прямокутна Декартові система координат на площині та у просторі.

6. Координати вектора.

7. Розклад вектора по ортам (базису) прямокутної системи координат.

8. Знаходження алгебраїчної суми векторів, заданих у координатній формі.

9. Правило множення вектора на число, який заданий своїми координатами.

10. Обчислення модуля вектора, який заданий своїми координатами.

11. Означення скалярного добутку двох векторів, його фізичний зміст.

12. Властивості скалярного добутку двох векторів.

13. Знаходження скалярного добутку двох векторів, заданих у координатній формі.

14. Умова ортогональності векторів.

15. Означення векторного добутку векторів.

16. Поняття правої трійки векторів.

17. Властивості векторного добутку векторів.

18. Умова колінеарності двох векторів.

19. Знаходження векторного добутку векторів, що задані у координатній формі.

20. Обчислення площі трикутника і паралелограма за допомогою векторного добутку.

21. Поняття мішаного добутку векторів. Його геометричний зміст.

22. Властивості мішаного добутку векторів.

23. Умова компланарності трьох векторів.