2020-10-12
432
Двумерным векторным подпространством является такое векторное подпространство базис которого состоит из двух векторов { е 1, е2 }. Базис векторного подпространства называется ортонормированным, если длины базисных векторов равны единицы, и базисные векторы перпендикулярны. Ортонормированный базис обозначается так: { i, j }.Множество всех векторов, параллельных одной плоскости, образует двумерное векторное подпространство.
Координатами вектора m в данном базисе называются коэффициенты разложения этого вектора по векторам базиса, т.е. если m = х е 1 + у е2, то числи х и у это координаты вектора m, в этом случае будем записывать m (х, у).
Имеет место теорема о координатах линейной комбинации:
Если вектор m = x а + y b и а (а 1 ,а 2 ), b (b 1 ,b 2 ) m (m 1 ,m 2 )
m 1 =x a 1 + y b 1, m 2 =x a 2 + y b 2.
Если известны координаты векторов а и b в ортонормированном базисе { i, j } а (а 1 ,а2), b (b 1 ,b 2 ), то имеют место формулы
a b = а 1 b 1 + а 2 b 2 , │ а │= 
cos 
(а, b ) = 
1.46. В правильном шестиугольнике АВСDEF векторы 
= е1, 
= е2 выбраны в качестве базисных, Найти координаты векторов 
, 
ОТВЕТ.. (
, 
), 
(1,1), 
(- , ), 
(- , - ).
1.47. В ромбе АВСD векторы = е1, 
= е2 выбраны в качестве базисных. Найти координаты векторов 
, 
.
ОТВЕТ. (, - ), 
(, ), 
(- , ), 
(- , - ).
1.48. Даны векторы а (2,1), b (1,0). Найти коэффициенты разложения вектора с (9,1) по векторам а и b.
ОТВЕТ.. с = а + 7 b.
1.49. Даны векторы а (3,-2), b (-2,1), с (-9,6).Можно ли каждый из этих векторов разложить по двум другим?
ОТВЕТ.. а = - 
с, с = -3 а, вектор b нельзя разложить по векторам а и с.
1.50. В треугольнике АВС (1,3), 
(2,1). АМ1, ВМ2, СМ3 – медианы треугольника АВС, определить координаты трех векторов, 
ОТВЕТ.. 
(, 2), 
(0, 
), 
(- , ).
1.51. Дан ортонормированный базис и векторы а (1,0), b (2,2), с (4,-4). Найти углы между парами этих векторов.
ОТВЕТ. (а, b) = 45°, (а,с) = 45°, (b,с) = 90°.
1.52. АМ – медиана треугольника АВС. Найти длину ВМ и угол АМС, зная координаты (4,6), (8,-4) в ортонормированном базисе.
ОТВЕТ.. ВМ = 
, cоs АМС = - 
.
1.53. Дан базис { е1, е2 }. Зная координаты векторов а (а 1, а 2) и b (b 1, b 2), длины базисных векторов и угол между базисными векторами., найти скалярное произведение а b.
ОТВЕТ. а b = (а 1b1) │ е1 │2 + (а 2b2) │ е2 │2 + (а 1b2 + а 2 b1) │ е1││е2 │ Соs 
(е1,е2).
ДОПОЛНИТЕЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Векторы и равны. Равны ли векторы: а) 
и 
; б) 
и 
; в) 
и ; г) и ; д) 
и 
?
2. Верно ли соотношение а ↑↑с, если: а) а↑↑b и b↑↑с; б) а↓↑b и b↑↓с?
3. Что можно сказать о векторе а, если а↑↑-а?
4. Какому условию удовлетворяют векторы 
, если точки А, В, С лежат на некоторой окружности?
5. Что можно сказать о векторах а и b, если: а)| а + b | = | а | + | b |;
б) | а + b | = | а | - | b |; в) | а - b | = | а | + | b |?
7. Пусть а, b, с, d произвольные векторы. Как доказать, что:
а) а + b + с + d = с + а + d + b; б) а – b = – (b – а); в) а – (b + с) = (а – b) – с?
8. Может ли длина разности двух векторов быть больше и длины вычитаемого и длины уменьшаемого векторов?
9. Что можно сказать о векторах а и b, если: а) векторы а + b и а – b коллинеарны; б) | а + b | = | а – b |?
10. Какому условию удовлетворяют векторы а и b, если уравнение
а + х b = 0 имеет решение?
11. Известно, что α1 а + α2 b + α3 с = β1 а + β2 b + β3 с. Следует ли из этого равенства, что α1 = β1, α2 = β2, α3 = β3, если векторы а, b, с: а) компланарны; б) не компланарны?
12. Приведите пример компланарных векторов а, b, с, для которых не существует чисел α и β, удовлетворяющих равенству с = α а + β b?
13. Дан вектор р (р1,р2,р3) в базисе { е1, е2 ,е3 }. Найти координаты вектора р в базисе: а) { е3, е2 ,е1 }; б) {- е1, е2 ,-е3 }; в) { е1, 2 е2 , 4 е3 }.
14. Для любых ли векторов а, b, с, где а и b коллинеарные векторы, верно равенство: (а с) b = а (с b).
15. Что можно сказать о векторе х, если а х = b х = с х = 0, где { а, b, с } – некоторый базис?
