Сложение векторов и умножение вектора на число

ЗАДАЧИ ПО ВЕКТОРНОЙ АЛГЕБРЕ

Вектором называется множество всех направленных отрезков пространства, любые два из которых сонаправлены и имеют равные длины, эти направленные отрезки будем называть представителями вектора а. Векторы будем обозначать жирными буквами, например, вектор а. Если направленный отрезок а, то вектор а можно обозначать . Множество всех нулевых направленных отрезков образует нулевой вектор, который будем обозначать так: 0.

Длиной вектора называется длина любого его представителя.

Векторы а и b называются сонаправленными, если любые два их представителя сонаправленны, будем обозначать сонаправленные векторы так:

а ↑↑ b. Будем считать, что нулевой вектор сонаправлен с любым вектором. Векторы а и b называются противоположно направленными, если любые два их представителя противоположно направлены, будем обозначать противоположно направленные векторы так: а ↑↓ b.

Вектор называется параллельным прямой, если любой его представитель либо параллелен прямой, либо лежит на этой прямой. Два вектора а и b называются коллинеарными, если они параллельны одной прямой. Коллинеарные векторы будем обозначать так а ││ b.

Вектор называется параллельным плоскости, если любой его представитель либо параллелен плоскости, либо лежит в этой плоскости. Три и более векторов называются компланарными, если они параллельны одной плоскости. (Любые два вектора компланарны)

Если дан вектор а и точка О, то существует единственная точка А, такая, что = а, будем в этом случае говорить, что вектор а отложен от точке А. Договоримся под словами «построить вектор а» будем понимать откладывание вектора а от какой либо точки О, т.е. построение такой точки А, что а = .

Противоположными векторами называются такие два вектора, которые противоположно направлены и длины которых равны. Вектор, противоположный вектору а, обозначается так (– а).

Суммой векторов а и b называется вектор с, который получается следующим образом: от произвольной точки А отложим вектор = а, от точка В отложим вектор = b, тогда с = а + b = . Указанное в этом определении правило сложения векторов называется правилом треугольника. (Рис.1.1 а) Если векторы а и b не коллинеарны, то можно от произвольной точки О отложит векторы = а и = b, построить параллелограмм ОАСВ, тогда вектор

= а + b. Сложение векторов по этому правилу называется правилом параллелограмма (Рис. 1.1 b)

Рис. 1.1а. Рис. 1.1 b.

Сложение векторов обладает следующими свойствами:

1°. Для любого вектора а а + 0 = 0 + а.

2°. Для любого вектора а а + (– а) = (– а) + а = 0.

3°. Для любых векторов а и ba + b = b + a (свойство коммутативности).

4°. Для любых трех векторов a, b, c ( a + b ) + c = a + ( b + c ) (свойство ассоциативности).

Произведением число λ на вектор а (или произведением вектора а на число λ)будем называть вектор b = λ а, удовлетворяющий двум условиям:

1) длина вектора b равна произведению модуля числа λ и длины вектора а

│ b │= │λ││ а │, 2) если λ 0, то вектор b сонаправлен с вектором а, если λ < 0, то вектор b противоположно направлен с вектором а (рис.1.2).

Рис. 1.2

Произведение вектора на число обладает следующими свойствами:

1°. Для любого вектора а 1 а = а.

2 °. Для любого вектора а 0 а = а.

3°. Для любого вектора а и любых чисел λ и β (λ β) а = λ (β а).

4°. Для любого вектора а и любых чисел λ и β (λ+ β) а = λ а + β а.

5°. Для любых векторов а и b любого числа λ λ( a + b ) = λ a + λ b.

Для решения задач данного раздела целесообразно придерживаться следующих рекомендаций: а) если надо построить алгебраическую сумму векторов, то все векторы со знаками минус заменяем на противоположные векторы со знаками плюс, б) сумма n векторов не изменится, если поменять местами любые два вектора, в) для построения суммы n векторов строим эту сумму по правилу n-угольника, т.е. сначала выбираем направленный отрезок из первого вектора, затем от его конца откладываем направленный отрезок из второго вектора, затем от конца этого отрезка откладываем направленный отрезок из третьего вектора и так далее, тогда соединив начало первого направленного отрезка с концом последнего направленного отрезка, получим направленный отрезок из искомой суммы.

ПРИМЕР 1.1

Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О. Построить вектор

– +2 .

РЕШЕНИЕ

1) – +2 = + +2 .

2) Рассмотрим направленный отрезок , от точки В отложим направленный отрезок из вектора , затем от точки С отложим направленный отрезок из вектора 2 .