Решить следующие задачи

1 2 3 4 5

1.1. Дан параллелограмм АВСD. Построить векторы: а) – ,

б) , в) + , г) + – – ,

д) + – – .

ОТВЕТ.. в) ; г) ; д) .

1.2. Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О. Построить векторы: а) + – ; б) + – + .

ОТВЕТ.. а) ; б) .

1.3. Дан параллелепипед АВСDА ₁ В ₁ С ₁ D ₁. N, К, М – середины ребер D ₁ С ₁, ВС, СС₁. Построить векторы: а) + – – ;

б) + + – – ; в) + – + .

ОТВЕТ. а) ; б) ; в) .

1.4. АМ – медиана треугольника АВС Доказать, что = ( + ).

1.5. Дан тетраэдр АВСD. К – точка пересечения медиан грани ВСD. M, N, S – середины ребер СD, ВD, АС. Построить векторы

а) + – + , б) – – + .

ОТВЕТ.. а) ; б) .

1.6. Дан параллелепипед АВСDА ₁ В ₁ С ₁ D ₁. М и N – середины ребер D ₁ С ₁ и АD, О = В ₁ С ВС ₁. Построить векторы: а) + – ;

б) + – - + ( + );

в) + – + – – .

ОТВЕТ. а) ; б) ; в) .

1. 7. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, Р – середина АВ. Доказать, что для любой точке О пространства: 1) = ( + ), в частности, = ();

2) = ( + + ).

1.8. О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Доказать, что

+ + = 0.

ЗАМЕЧАНИЕ. Из этого свойства следует, что точка О является центром тяжести треугольника АВС. Поэтому точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести этого треугольника.

1.9. Основанием пирамиды МАВСD является параллелограмм АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О. Доказать, что

1.10. В тетраэдре АВСD М, К, Р – середины ребер ВС, СD, DВ. Доказать, что + .

1.11. В треугольной призме АВСА ₁ В ₁ С ₁ М и М ₁ – точки пересечения медиан оснований АВС и А₁В₁С₁. Доказать, что .

1.12. АВСD параллелограмм, О – произвольная точка пространства. Доказать, что + = + .

1.13. Доказать, что если для некоторого четырехугольника АВСD и некоторой точки О пространства выполняется векторное равенство

+ = + , то АВСD – параллелограмм.

ЗАМЕЧАНИЕ.

1) Даны векторы с₁, с₂,...с_n и числа α₁, α₂, … α _n. Вектор

α₁ с₁ + α₂ с₂ + … + α _n с_n называется линейной комбинацией векторов

с₁, с₂, … с_n, а числа α₁, α₂, … α _n называются коэффициентами этой линейной комбинации.

Если вектор а является линейной комбинацией векторов с₁, с₂,...с_n, т.е.

а = α₁ с₁ + α₂ с₂ + … + α _nс_n, то будем говорить, что вектор а выражен через векторы с₁, с₂, …с_n или что вектор а разложен по векторам с₁, с₂, …с_n.

2) Если некоторый вектор надо выразить через данные векторы, то сначала вектор а мы представляем как сумму некоторых векторов или как произведение некоторого вектора на число. Затем с каждым полученным таким образом вектором поступаем аналогично, пока не получим линейную комбинацию данных векторов. Проиллюстрируем это, решая ПРИМЕР1.3.