2020-10-12
152
1.1. Дан параллелограмм АВСD. Построить векторы: а) – 
,
б) 
, в) + , г) 
+ 
– 
– 
,
д) + 
– 
– 
.
ОТВЕТ.. в) 
; г) ; д) .
1.2. Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О. Построить векторы: а) 
+ – 
; б) 
+ 
– 
+ 
.
ОТВЕТ.. а) 
; б) 
.
1.3. Дан параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1. N, К, М – середины ребер D 1 С 1, ВС, СС1. Построить векторы: а) 
+ 
– – ;
б) 
+ + 
– 
– 
; в) 
+ 
– 
+ 
.
ОТВЕТ. а) 
; б) 
; в) 
.
1.4. АМ – медиана треугольника АВС Доказать, что 
= ( 
+ 
).
1.5. Дан тетраэдр АВСD. К – точка пересечения медиан грани ВСD. M, N, S – середины ребер СD, ВD, АС. Построить векторы
а) 
+ – 
+ 
, б) – – + .
ОТВЕТ.. а) 
; б) .
.
1.6. Дан параллелепипед АВСDА 1 В 1 С 1 D 1. М и N – середины ребер D 1 С 1 и АD, О = В 1 С 
ВС 1. Построить векторы: а) + – 
;
б) 
+ – 
- 
+ (
+ );
в) 
+ – 
+ 
– 
– 
.
ОТВЕТ. а) 
; б) 
; в) 
.
1. 7. М – точка пересечения медиан треугольника АВС, Р – середина АВ. Доказать, что для любой точке О пространства: 1) 
= (
+ 
), в частности, 
= 
(
);
2) 
= 
( 
+ 
+ 
).
1.8. О – точка пересечения медиан треугольника АВС. Доказать, что
+ + = 0.
ЗАМЕЧАНИЕ. Из этого свойства следует, что точка О является центром тяжести треугольника АВС. Поэтому точку пересечения медиан треугольника называют центром тяжести этого треугольника.
1.9. Основанием пирамиды МАВСD является параллелограмм АВСD, диагонали которого пересекаются в точке О. Доказать, что 
1.10. В тетраэдре АВСD М, К, Р – середины ребер ВС, СD, DВ. Доказать, что 
+ 
.
1.11. В треугольной призме АВСА 1 В 1 С 1 М и М 1 – точки пересечения медиан оснований АВС и А1В1С1. Доказать, что 
.
1.12. АВСD параллелограмм, О – произвольная точка пространства. Доказать, что + = + 
.
1.13. Доказать, что если для некоторого четырехугольника АВСD и некоторой точки О пространства выполняется векторное равенство
+ = + , то АВСD – параллелограмм.
ЗАМЕЧАНИЕ.
1) Даны векторы с1, с2,...сn и числа α1, α2, … α n. Вектор
α1 с1 + α2 с2 + … + α n сn называется линейной комбинацией векторов
с1, с2, … сn, а числа α1, α2, … α n называются коэффициентами этой линейной комбинации.
Если вектор а является линейной комбинацией векторов с1, с2,...сn, т.е.
а = α1 с1 + α2 с2 + … + α n сn, то будем говорить, что вектор а выражен через векторы с1, с2, …сn или что вектор а разложен по векторам с1, с2, …сn.
2) Если некоторый вектор надо выразить через данные векторы, то сначала вектор а мы представляем как сумму некоторых векторов или как произведение некоторого вектора на число. Затем с каждым полученным таким образом вектором поступаем аналогично, пока не получим линейную комбинацию данных векторов. Проиллюстрируем это, решая ПРИМЕР1.3.
ПРИМЕР 1.3
Дан тетраэдр АВСD. К – середина ребра ВС, точка М принадлежит ребру АD и DМ = DА. 
= а, 
= b, 
= с. Выразить вектор 
через векторы а, b, с.
РЕШЕНИЕ.
1) Представим вектор 
как сумму двух векторов:
= 
. (1)
2) Теперь вектор 
представим в виде линейной комбинации векторов а, b, с.
= 2 
= 2 (
) = 2 (-с - b) (2).
3) Теперь выразим вектор 
как линейную комбинацию векторов а, b, с.
= 
= b + 3 
= b – 3 а. (3)
4) В равенство (1) подставит разложения векторов и 
из равенств (2) и (3). = 2 (-с - b) + b – 3 а = -3 а – b – 2 с.
ОТВЕТ. = -3 а - b – 2 с.
1.14. Дан правильный шестиугольник АВСDEF с центром О.
а) Выразить векторы , 
, 
через векторы 
и 
;
б) выразить векторы , , 
через векторы 
и .
ОТВЕТ. а) = 
, 
;
б) = - (
), 
, 
.
ОТВЕТ. а) = , ;
б) = - (), , .
1.15. АВСD – тетраэдр. М, N, Р, Q – середины ребер АD, АВ, ВС, СD.
а) Выразить векторы 
и 
через векторы , , ;
б) выразить векторы 
и 
через векторы 
, , 
.
ОТВЕТ. а) = - , = - – – ;
б) = + , = - + – .
1.16. АВСDА 1 В 1 С 1 D 1 – куб. О = В 1 С 
ВС 1, М – середина АВ.
а) Выразить вектор 
через векторы , , 
;
б) выразить векторы 
через векторы , , 
.
параллелен биссектрисе угла АОВ.
ОТВЕТ. а ) = 
– + ; б ) 
= - – 
,
– – , 
= - + .
