2014-02-02
995
НеАнтагонистические игры.
(с нулевой суммой)
Опр.: Игра 
называется антагонистической, если выполняются условия 
и 
.
Другими словами, антагонистическая игра — это игра двух лиц с нулевой суммой.
Обозначив множество стратегий первого игрока через X 
, а множество стратегий второго игрока через Y 
, антагонистическую игру можно описать следующим образом:
, где 
— выигрыш первого игрока или проигрыш второго.
Как отмечалось выше, целью исследования является нахождение ситуации равновесия (равновесия в прямом конфликте). Поэтому поведение игроков диктуется:
1-ый игрок старается за счет выбора стратегии 
максимизировать свой выигрыш (
);
2-ой игрок за счет выбора стратегии 
старается минимизировать проигрыш (
).
Суть этого конфликта состоит в том, что каждый из игроков обладает возможностью менять только свою стратегию. Преодоление этой трудности, другими словами определение наиболее рационального способа поведения игроков в этой игре, это и есть игровая модель принятия решений.
Если в антагонистической игре двух лиц множества X и Y конечны, то игра называется матричной. Название объясняется тем, что игру можно представить таким образом: элементы множеств X и Y занумеровываются, например:
и 
.
Ситуацией в этом случае является пара 
, 
, 
. Выигрыш первого игрока 
рассматривается как элемент 
матрицы А размером 
Эта матрица называется матрицей игры. Игра протекает следующим образом: игроки одновременно и независимо друг от друга называют номер строки (первый игрок) и номер столбца (второй игрок). Элемент матрицы, расположенный на пересечении выбранных строки и столбца, и есть выигрыш первого игрока и соответственно проигрыш второго.
Рассмотрим матричную антагонистическую игру с матрицей выигрышей:
Первый (максимизирующий) игрок выбирает строку. Второй (минимизирующий) игрок выбирает столбец, на их пересечении записан выигрыш первого игрока. Каждый игрок стремится к увеличению своего выигрыша. Но его выигрыш зависит не только от его выбора, но и от того, какая стратегия будет выбрана противником. Поэтому, стремясь получить максимальный выигрыш, каждый игрок должен учитывать поведение противника. В теории игр выбор оптимальной стратегии предлагается осуществлять, основываясь на принципе минимакса (максимина), который иногда называют «принципом осторожной игры против умного партнера».
Вот рассуждения первого игрока, основанные на указанном принципе. «Пусть я выбрал i-ую строку. Тогда самое меньшее, на что я могу рассчитывать, будет 
. Поэтому естественно выбрать такую строку, чтобы этот минимальный выигрыш был наибольшим: 
. Таким образом, я могу гарантировать, что меньше, чем 
, мой выигрыш быть не может».
Эта величина называется нижним значением игры и обозначается:
.
Номер строки i, который выбрал первый игрок, называется максиминной стратегией первого игрока.
Рассуждения второго игрока, основанные на принципе минимакса. «Пусть я выбрал j-ый столбец. Тогда самое большее, что я могу проиграть — это 
. Поэтому естественно выбрать такой столбец, чтобы этот максимальный проигрыш был наименьшим, т.е. чтобы 
. Таким образом, я мог бы гарантировать, что больше, чем 
, мой проигрыш быть не может».
Величина 
называется верхней ценой игры и обозначается:
.
Значение j называется минимаксной стратегией 2-ого игрока.
Теорема: Если - антагонистическая игра, то для любого , имеет место:
Доказательство:
Так как по определению
, то, очевидно, 
. Так как 
, то 
. Эти неравенства очевидны для любых x, y и для тех, которые обеспечивают верхнюю и нижнюю цены игры:
.
Таким образом, 
. Теорема доказана.
Пример. Имеется следующая платежная матрица 
A(x)
B(y) 
Нижняя цена игры равна -3, верхняя цена игры равна 4, максиминная стратегия первого игрока есть 
, минимаксная стратегия второго игрока есть 
.
Если нижняя цена игры равна верхней цене игры, то игра называется игрой с cедловой точкой. Пусть 
, тогда величину с называют ценой игры, а стратегии игроков, обеспечивающие результат с, — оптимальными стратегиями. Клетку матрицы, определяющую величину с, называют седловой точкой, так как значение с является одновременно минимальным элементом строки и максимальным элементом столбца, на пересечении которых стоит эта величина.
Любая седловая точка является искомой точкой равновесия в игре, так как любое отклонение игроков от оптимальной стратегии приведет к уменьшению выигрыша первого, либо к увеличению проигрыша второго.
— цена игры. Если 
, то игра является несправедливой, т.к один игрок точно проигрывает. Если 
, то игра справедливая. Для того чтобы сделать несправедливую игру справедливой, первый игрок должен уплатить второму игроку величину с перед началом каждой новой партии.
