Покажем, что точка , определяющая минимаксную стратегию второго игрока, является граничной точкой области
, причем такой, в которой область T касается области
.
, причем
. С другой стороны
, если
,
это множество m-мерных векторов, каждая из координат которых не превышает верхней цены игры.
Рассмотрим точку , которая связана с точкой
следующим образом:
,
,
,
.
Очевидно, что , поэтому
,
. Значит,
. Но
.
Из этого следует два вывода:
1) точка — граничная точка области
;
2) — точка, в которой область T касается области
.
Эти свойства позволяют легко находить геометрически минимаксную стратегию для случая, когда первый игрок имеет две чистые стратегии, т.е. когда эквивалентная S-игра изображается множеством точек плоскости. Для построения области T, касательной к области
, удобно провести вспомогательную прямую из начала координат под углом
к оси абсцисс, на которой лежит вершина прямоугольного клина, образующего область T.
На рисунке приведены различные случаи взаимного расположения областей и T и отмечены точки, определяющие минимаксную стратегию второго игрока
, и множества минимаксных стратегий второго игрока.