double arrow

Игры с частными случаями платежных матриц

При анализе игры используются следующие свойства платежных матриц:

1) Произведение матрицы на число.

, , , .

Стратегии игроков не меняются, увеличивается только цена игры

.

При получается проигрыш.

2) Прибавляем к элементам матрицы положительное число

,

,

, оптимальные стратегии не меняются.

Латинский квадрат.

Латинским квадратом называют матрицу , если каждая из ее строк (столбцов) состоит из чисел от 1 до m.

Пример:

.

Для таких матриц справедливо следующее соотношение, определяющее цену игры: . В данном примере цена игры равна 2,5.

Диагональная игра.

, , где — символ Кронекера.

При такой матрице диагональные элементы можно преобразовать в . В оптимальные стратегиях игроков входят все чистые стратегии .

, , — диагональные элементы.

Аналогично для второго игрока:

.

Пример:

2 кг ершей, 3 кг щуки. С какой вероятностью надо выбирать поход за ершами?

.

Делаем вывод, что за ершами надо ходить чаще.

Если все , то , .

Игра, у которой диагональные элементы равны -1, а остальные равны 1.

Пусть матрица выигрышей имеет произвольный порядок m:

, , .

Для диагональных игр все стратегии являются рабочими (полезными), в других играх число полезных стратегий .

Теорема о поведении игроков. Если один из игроков придерживается своей оптимальной смешанной стратегии, то выигрыш игроков неизменен и равен цене игры, если второй игрок не выходит за пределы своих полезных (рабочих) стратегий. Размер выигрыша не зависит от того, какую из чистых или смешанных стратегий он использует.


Сейчас читают про: