double arrow

Принципы оптимальности в бескоалиционных играх

Ранее рассматривались антагонистические игры, у которых принцип минимакса и принцип равновесия совпадают. Это совпадение определяет единое понятие оптимальности и решения игры. В теории неантагонистических игр нет единого подхода к выработке принципа оптимальности. В литературе имеется множество таких принципов, каждый из которых требует своих особых предположений о поведении игроков и о структуре игры. Предположим, что в игре Г каждый из игроков стремится к ситуации Х=(х(1),…,х(N)), при которой максимизируется его выигрыш: Hi(x)max. Но для других игроков эта ситуация может приводить к противоречивому результату: Hj(x). Для оценки качества ситуаций x(1)…x(N) часто используется принцип равновесия по Нэшу и его различные обобщения.

Пусть х=(x(1)… x(i),x(i+1)…x(N)) — произвольная ситуация в игре Г, а x(i) — некоторая стратегия игрока i. Обозначим через (x//x1(i)) ситуацию, которая отлична от х только тем, что стратегия x(i) заменена на x1(i) . Тогда выражение

Hi(x//x1(i))=Н(x(1)… x1(i),x(i+1)…x(N)) определяет выигрыш i-ого игрока при такой замене.

Ситуация x*=(x1*…xN*) называется ситуацией равновесия по Нэшу, если для всех xiXi и верно неравенство:

Hi(x*) Hi(x*//x(i))

Т.е. всякое отклонение от ситуации равновесия ведет к снижению выигрыша.

Если ситуация x* достигнута путем предварительной договоренности, то никому из участников договора не выгодно изменять его условия.

Стратегия xk(i) (k-ая стратегия i-ого игрока), входящая хотя бы в одну из ситуаций равновесия по Нэшу, называется равновесной.

Рассмотрим игру Г=<x1,x2,H1,H2>. Для бескоалиционной игры двух лиц ситуация x1*,x2* называется ситуацией равновесия, если

H1(x1,x2*)H1(x1*,x2*) , x1X1

H2(x1*,x2)H1(x1*,x2*) , x2X2

Для матричной игры, где H1=(aij) m*n , H2=(bij) m*n условия равновесия по Нэшу имею вид:

aij* ai*j*

bij* bi*j*

Особенности ситуации в матричной игре рассмотрим на примере игры «семейный спор».

2 игрока — муж и жена — решают, как провести вечер. Ситуация описывается следующей матрицей:

м ж

а11=4 b11=1 ( — “пойти на боксерский матч”)

а22=1 b22=4 ( — “пойти на показ мод”)

0 0 ( — если не договорятся и никуда не пойдут)

A/B=

В данном случае ситуации x1,y1 и x2,y2, где наблюдается наибольший выигрыш, не являются ситуациями равновесия по Нэшу, т.к. один из игроков в этих ситуациях имеет возможность увеличить свой выигрыш путем изменения своей стратегии на противоположную.

Другим принципом оптимальности в бескоалиционных играх является принцип оптимальности по Парето.


Сейчас читают про: