Бескоалиционные игры

Неантагонистические игры

N={1,2,…,N} — число игроков (больше двух).

Возможны следующие ситуации:

1) совместные действия игроков (коалиции) запрещены по условиям игры, и тогда игра называется бескоалиционной;

2) совместные действия не запрещены, игроки могут образовывать коалиции и действовать совместно. Такие игры называются кооперативными.

В таких играх каждый игрок действует самостоятельно.

Игра Г=<N, {X_i}, iN, {H_i}, iN>,где N — множество игроков, X_i-множество стратегий i-го игрока, H_i — множество функций выигрыша для каждой ситуации.

Каждый игрок выбирает некоторую стратегию из множества Х_i:

ix⁽ⁱ⁾ X_i, получаем ситуацию (x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…,x^(N)). В результате каждый из игроков получает выигрыш H_i(x⁽¹⁾,x⁽²⁾,…,x^(N)), iN.

Это описание бескоалиционной игры в нормальной форме. Игроки выбирают свои стратегии x_i независимо друг от друга. Если для каждого игрока множество стратегий x_i конечно, то получаем конечную бескоалиционную игру. Если хотя бы один из игроков имеет бесконечное число стратегий, то это бесконечная бескоалиционная игра.

Простейшей бескоалиционной игрой является игра двух лиц. Они могут не только выигрывать или проигрывать, но и делать это совместно (одновременно выигрывать или проигрывать).

Опишем такую игру (бескоалиционную) в нормальной форме:

Г=<x₁,x₂,H₁,H₂>, где {x₁,x₂}-множество стратегий, H₁,H₂— функции выигрыша.

(x⁽¹⁾,x⁽²⁾) H₁(x⁽¹⁾,x⁽²⁾), H₂(x⁽¹⁾,x⁽²⁾)

Ясно, что если игра конечна, то матрицу Н можно рассмотреть как

H₁=(a_ij) m*n A

H₂=(b_ij) m*n B

Такую игру называют биматричной: Г=<A,B>; a_ij= -b_ij, , , следовательно, игра антагонистическая.