Имеется коалиционная игра Г=<I,{Si}, , {Hi}>.
Опр. Вещественная функция v(k), определенная на семействе kI (всех подмножеств k из I) называется характеристической функцией.
Содержательно определенная характеристическая функция должна удовлетворять 3 свойствам:
1. Персональность
2. Супераддитивность
3. Дополнительность
Персональность: выигрыш участников коалиции определяется не только их числом, но и персональным составом коалиции. v()=0.
Супераддитивность: отражает заинтересованность двух групп, K и L, в коалиции: v(KL) v(K) + v(L)
Дополнительность: v(K) + v(I/K) = v(I), следовательно характеристическая функция показывает ресурс игры v(I) между коалицией К и лицами, не вошедшими в нее (I/K). А значит, если известны все характеристические функции всех возможных коалиций, т.е. v(K) для , об игре известно все.
Надо так нормировать выигрыши всех игроков, чтобы v(I)=1. Тогда v(K)[0,1] .
Игра, в которой v(K)[0,1] , называется коалиционной игрой в 0,1-редуцированной форме.
ТЕОРЕМА. Всякая коалиционная игра Г приводится к единственной коалиционной игре в 0,1-редуцированной форме.
|
|
Рассмотрим некоторые свойства характеристической функции в 0,1-редуцированной коалиционной игре:
1. Всякая характеристическая функция является неотрицательной и неубывающей функцией.
2. Если KL, то v(K) + v(L/K) v(L)
3. Всякая характеристическая функция в игре из n игроков, I={1,2,…,n}, описывается 2n-1 числом параметров, а при приведении игры в 0,1-редуцированную форму накладывается n+1 дополнительных связей, и, следовательно, получается (2n - n - 2) свободных параметров.
Рассмотрим, сколько будет свободных параметров в зависимости от числа игроков:
n=2 22-2-2=0 v(1)=v(2)=0
v(1,2)=1
n=3 23-3-2=3 v(1)=v(2)=v(3)=0
v(1,2)=c3, v(1,3)=c2, v(2,3)=c1 3 параметра
v(1,2,3)=1
Пример. Рассмотренная ранее игра в 0,1-редуцированной форме (см. пример про продавца и покупателей):
v(Пр,П1)=b-a || v()=v(П1)=v(П2)=v(П1,П2)=0
v(Пр,П2)=c-a || v(Пр)=а-а=0
v(Пр,П1)=
v(Пр,П2)=1
v(Пр,П1,П2)=1
Если при анализе 0,1-редуцированной игры учитывать свойство дополнительности, то на наибольшее число параметров накладывается еще одно условие. Содержательно игру в 0,1-редуцированной форме можно определить, если число участников n3.
После определения выигрыша коалиции возникает задача дележа выигрыша между участниками коалиции. Задача определения справедливых дележей рассматривается в кооперативных играх.