2014-02-02
315
Функция риска при оптимальном
Функция риска определяет на каждой стадии эксперимента минимальные средние потери, которые понесет статистик, принимая решение 
и решение о продолжении эксперимента. Значение функции риска при продолжении j испытаний обозначим 
, j — число проведенных испытаний, N-j — число оставшихся испытаний.
Предположим вначале, что проведены все N испытаний и определено 
. Очевидно, что средние потери, которые понесет статистик, принимая решение 
. в данном случае будут определяться:
.
Очевидно, что минимальное значение этих потерь будет определять средняя функция риска:
.
— байесовское решение.
Поскольку ничего лучшего на этой стадии эксперимента уже придумать нельзя, то эти минимальные байесовские стратегии можно взять как функцию риска:
.
Рассмотрим некоторую произвольную стадию эксперимента: j. На этой стадии статистик располагает апостериорным распределением 
и может поступать следующим образом:
1). Прекратить эксперимент и принять решение 
. При этом он понесет потери 
.
2). Принять решение проводить j+1 испытание. При этом он понесет потери, которые будут состоять из стоимости нового испытания и из потерь, которые понесет статистик, используя результаты j+1 наблюдения. Другими словами: 
.
Статистику известны исходы эксперимента 
. Поэтому необходимо прогнозировать 
.
Например, используем формулу Байеса:
Эти распределения зависят от исхода 
и определять следует по всем исходам 
.
При решении вопроса о продолжении эксперимента статистик должен учитывать потери, которые он понесет, которые будут определяться:
.
Функция риска после проведения j-ого испытания:
; 
Если не использовать индексы j, то:
; 
.
Обозначим через V — пространство исходов экспериментов. 
.
Тогда: 
— средние потери.
Тогда математическое ожидание риска:
.
