2014-02-02
2526
Правила принятия решений с использованием численных значений вероятностей исходов
Пример 2.
Математическое ожидание.
Субъективная оценка вероятности.
Вероятность определяется эмпирическии.
Чаще всего вероятность определяется на основе эксперимента. Если из общего количества экспериментов n подтвердили интересующий исход m экспериментов, то вероятность этого исхода
P(x) = m / n (52)
Пример 1: Произведены замеры длины 100 кусков ткани. Результаты замеров представлены в табл. 15.
Таблица 15. Результаты замеров длины ткани в куске
| Длина ткани в куске, м | ||||||
| Частота |
Какова вероятность того, что очередной кусок будет иметь длину менее 40 метров?
Из таблицы видно, что из 100 замеров 20 имели длину менее 40 метров. Эмпирическая вероятность того, что очередной кусок ткани будет иметь длину менее 40 метров
P(x) = 20/100 = 0,2
Если нет эмпирических данных и результат не представляется симметричным, тогда используется опыт и интуиция. Специалист может на основе собственного опыта определить вероятность интересующего исхода.
Пример:
Ø Специалист по инвестициям считает, что вероятность прибыльной работы создаваемой фирмы равна 0,9.
Ø Технолог считает, что вероятность повышения качества продукции на 10% при использовании нового станка составляет 0,6.
При многократном повторении эксперимента можно вычислить среднее значение исследуемой величины.
Математическое ожидание – есть среднее значение величины, получаемое при неограниченно большом числе опытов.
Если х – величина, полученная в эксперименте;
P(x) – вероятность получения значения х;
å P(x) = 1,
то å P(x)•х – определяя среднее значение величины х, является математическим ожиданием этой величины.
Математическое ожидание обозначается Е(х) или µ (читается “мю”)
µ = å P(x)•х (53)
Пример: Определить среднюю длину куска ткани, если результаты замеров длины 100 кусков ткани представлены в табл. 16.
Определим вероятность появления куска ткани определенной длины. Расчеты представлены в табл. 16.
Таблица16. Расчет вероятностей
| Длина ткани в куске, м | ||||||
| Частота | ||||||
| Вероятность | 0,05 | 0,15 | 0,60 | 0,10 | 0,08 | 0,02 |
Средняя длина ткани в куске определяется как средневзвешенная, где весами выступают вероятности появления длин кусков
µ = å P(x)•х =
42×0,05 + 41×0,15 + 40×0,60 + 39×0,10 + 38×0,08 + 37×0,02 =
= 39,93м
В казино при игре в рулетку возможны два выигрыша: 1000руб. с вероятностью 0,05 и 450руб. с вероятностью 0,2. При проигрыше придется заплатить 200руб.
Каков средний доход казино от одной игры?
Решение:
Пусть: х1 – выигрыш 1000руб., P(х1) = 0,05
х2 - выигрыш 450руб., P(х2) = 0,2
х3 – проигрыш? P(х3) =?
Так как å P(x) = 1,
то P(х3) = 1 - 0,05 – 0,20 = 0,75.
Средний доход казино от одной игры:
m = å P(x)х = 0,75*200 - 0,05*1000 – 0,2*450 = 10.
Ответ: средний доход казино от одной игры 10руб.
Если в прошлом чаще всего наступал определенный исход, то логично предположить, что и в будущем этот исход будет наступать чаще. Поэтому решением становится тот исход, вероятность наступления которого наибольшая.
Пример:
В цветочном магазине “Ирис” провели маркетиговое исследование количества ежедневно продаваемых букетов. Наблюдение проводилось в течение 50 дней. Результаты приведены в табл. 17:
Таблица 17. Результаты исследования количества ежедневно продаваемых букетов.
| Количество букетов, проданных за 1 день | |||||||
| Частота продаж | |||||||
| Вероятность | 00,02 | 00,08 | 00,24 | 00,34 | 00,22 | 00,06 | 00,04 |
Чаще всего продавали по 6 букетов, вероятность этого исхода 0,34, поэтому магазину рекомендуется ежедневно готовить к продаже 6 букетов.
1. Принятие решения в соответствие с математическим ожиданием. Лицо, принимающее решение, задалось вопросом, какое количество букетов в среднем реализуется ежедневно?
Ответ на этот вопрос дает расчет математического ожидания
3×0,02 + 4×0,08 + 5×0,24 + 6×0,34 + 7×0,22 + 8×0,06 + 9×0,04 = =0,06 +0,32 + 1,2 + 2,04 + 1,54 + 0,48 + 0,36 = 6
Рекомендация: поскольку в среднем реализуется ежедневно 6 букетов, то к очередному дню магазину надо подготовить к продаже 6 букетов.
Заметим: по первому и второму правилам получили одинаковый результат, однако, это совпадение случайно. Если изменится распределение вероятностей количества ежедневно продаваемых букетов, то результат может быть другим.
Пример:
Пусть распределение вероятностей количества ежедневно продаваемых букетов представлено в табл. 18.
Таблица 18. Распределение вероятностей количества ежедневно продаваемых букетов
| Количество букетов, проданных за 1 день | |||||||
| Вероятность | 0,02 | 0,20 | 0,33 | 0,34 | 0,08 | 0,02 | 0,01 |
µ = å P(x)•х = 3×0,02 + 4×0,20 + 5×0,33 + 6×0,34 + 7×0,08 + + 8×0,2 + 9×,01 = 5,36
Здесь математическое ожидание близко к 5, поэтому магазину будет дана рекомендация готовить к продаже пять букетов.
1. Правило Байеса. Оптимизация математического ожидания. (Названо по имени статистика Томаса Байеса, 1702 – 1761).
Этот способ позволяет определить ожидаемый доход (или потери) по каждому варианту решений и на основе сопоставления выбрать наиболее эффективное решение.
Дополним платежную матрицу дохода, представленную в табл. 12, вероятностями каждого исхода (см. табл. 19):
Таблица 19. Доход (прибыль) в день, руб.
| Варианты продаж | Количество закупленных букетов | ||||||
| 9 Веро- ятность | |||||||
| 60 | 0 | -60 | -120 | -180 | -240 0,02 | ||
| -20 | -80 | -140 0,08 | |||||
| -40 0,24 | |||||||
| 60 0,34 | |||||||
| 160 0,22 | |||||||
| 260 0,06 | |||||||
| 120 | 360 0,04 |
Теперь каждую строку этой матрицы умножим на соответствующую вероятность исхода, получим матрицу возможных доходов (табл.20). Ожидаемый доход магазина по вариантам закупок нахадится суммированием элементов соответствующих столбцов.
Таблица 20. Доходы по вариантам решений
| Варианты продаж | Количество закупленных букетов | ||||||
| 2,4 | 1,2 | -1,2 | -2,4 | -3,6 | -4,8 | ||
| 9,6 | 12,8 | 3,2 | -1,6 | -6,4 | -11,2 | ||
| 28,8 | 38,4 | 33,6 | 19,2 | 4,8 | -9,6 | ||
| 40,8 | 54,4 | 81,6 | 61,2 | 40,8 | 20,4 | ||
| 26,4 | 35,2 | 52,8 | 61,6 | 48,4 | 35,2 | ||
| 7,2 | 9,6 | 14,2 | 16,8 | 19,2 | 15,6 | ||
| 4,8 | 6,4 | 9,6 | 11,2 | 12,8 | 14,4 | ||
| Ожидаемый доход в день, всего |
Покажем экономическое содержание расчета на примере определения ожидаемого дохода магазина при закупке 9 букетов.
В табл. 21 представлены вероятности вариантов продаж и доход по каждому варианту при закупке магазином 9 букетов (данные взяты из табл. 20):
Таблица 21.К расчету ожидаемого дохода магазина при закупке 9 букетов.
| Варианты продаж | |||||||
| Вероятности вариантов продаж | 0,02 | 0,08 | 0,24 | 0,34 | 0,22 | 0,06 | 0,04 |
| Доход по вариантам | -240 | -140 | -40 |
Пусть: х – доход по варианту продаж при закупке 9 букетов,
P(x) – вероятность варианта продаж,
тогда ожидаемый доход по этому варианту закупок составит:
µ = å P(x)•х = 0,02×(-240) + 0,08×(-140) + 0,24×(-40) +
+ 0,34× 60 + 0,22×160 + 0,06×260 + 0,04×360 =
= -4,8 – 11,2 – 9,6 + 20,4 + 35,2 + 15,6 + 14,4 = 60(руб.)
Наибольший доход получит магазин при закупке шести букетов (194 руб.), это решение рекомендуется в качестве оптимального.
Аналогичные расчеты можно провести, используя матрицу потерь.
Контрольные вопросы
1. Понятие вероятностей
2. Определение значения вероятности
3. Правила принятия решений с использованием численных значений вероятностей исходов
4. Правило максимальной вероятности
5. Правило Байеса.
Литература
1. Литвак Б.Г. Разработка управленческого решения. – М.: Дело, 2002. – 392с
2. Ременников В.В. Разработка управленческого решения./ Уч. Пособие. – М. ЮНИТИ-ДАНА, 2001
3. Смирнов Э.А. Разработка управленческих решений: Учебник для вузов. – М.: ЮНИТИ – ДАНА, 2000. – 271с.
4. Эддоус М., Стэнсфилд Р. Методы принятия решений. – М.: Аудит, ЮНИТИ, 1997. – 590с.
