Показатели центра распределения

Для характеристики среднего значения признака в вариационном ряду применяются: средняя арифметическая, медиана, мода.

Средняя арифметическая для дискретных и интервальных рядов распределения исчисляется по формуле:

(5.9)

где — варианты значений признака.

В случае непрерывного значения признака в качестве принимается середина соответствующего интервала и вычисляется как средняя из значений границ интервала.

Медиана (Me) соответствует варианту, стоящему в середине ранжированного ряда. Положение медианы определяется ее номером:

, (5.10)

где n — число единиц в совокупности.

По накопленным частоcтям определяют ее местоположение и численное значение в дискретном вариационном ряду.

Если совокупность содержит четное число значений варьирующего признака (n = 2k; k = n/2), то в этом случае за медиану условно принимают значение

, (5.11)

так как в ряду нет члена, который делил бы совокупность на две равные по объему группы.

В интервальном ряду распределения сначала указывают интервал, в котором находится медиана.

Медианным является первый интервал, в котором сумма накопленных частостей превысит 0,5.

Мода (Мо) — наиболее часто встречающееся значение признака. В дискретном ряду — это варианта с наибольшей частотой. В интервальном ряду сначала определяется модальный интервал, т. е. тот интервал, который имеет наибольшую частоту (частость).

Численное значение моды и медианы определяется по формулам:

(5.12)

(5.13) где - нижние границы модального и медианного интервалов;

- ширина модального и медианного интервалов;

- частость модального интервала;

- частость интервала, предшествующему модальному;

- частость интервала следующего за модальным;

- половина суммы накопленных частостей (равна 0,5);

- накопленная частость до медианного интервала;

- частость медианного интервала.

Моду и медиану можно определить на основе графического изображения ряда. Медиана определяется по кумуляте. Для ее определения высоту наибольшей ординаты, которая соответствует общей численности, делят пополам. Через полученную точку проводят прямую, параллельную оси абсцисс, до пересечения ее с кумулятой. Абсцисса точки пересечения является медианной величиной.

Мода определяется по гистограмме распределения. Для этого правую вершину модального прямоугольника соединяют с правым верхним углом предыдущего прямоугольника, а левую вершину модального прямоугольника — с левым верхним углом последующего прямоугольника. Абсцисса точки пересечения этих прямых и будет модой распределения.