Плоскорадиальное вытеснение нефти водой

Рассмотрим задачу о вытеснении нефти водой в условиях плоскорадиального движения по закону Дарси в пласте, изображенном на рис. 7.6. На контуре питания радиусом R_k поддерживается постоянное давление p_K, на забое добывающей скважины радиусом r_c – постоянное давление р_с, толщина пласта h и его проницаемость k также постоянны. Обозначим через R_o, r_f соответственно начальное и текущее положения контура нефтеносности, концентричные скважине и контуру питания; через р_в и р_н давление в любой точке водоносной и нефтеносной области соответственно, через p(t) - давление на границе раздела жидкостей.

В случае установившегося плоскорадиального движения однородной жидкости распределение давления в потоке и скорость фильтрации описываются следующими уравнениями (тема 3):

,

Если изобару, совпадающую в данный момент с контуром нефтеносности, принять за скважину, то распределение давления и скорость фильтрации в водоносной области можно выразить следующим образом:

, (9.9)

В случае, если эту же изобару, совпадающую с r_f, принять за контур питания, то распределение давления и скорость фильтрации в нефтеносной области можно записать следующим образом:

, (9.10)

Давление на границе раздела жидкостей р найдем из условия равенства скоростей фильтрации нефти и воды на этой границе, для чего приравняем (9.9) и (9.10) при r = r_f. В результате получим:

(9.11)

где μ₀ = μ_н/μ_в

Определим характеристики рассматриваемого плоскорадиального фильтрационного потока нефти и воды.

1. Распределение давления в водоносной и нефтеносной областях найдем из уравнений (9.9) и (9.10), подставив в них значения давления на границе раздела p(t) из (9.11). В результате получим:

,,

, (9.22)

где Δр = р_к - р_с

Из этих формул видно, что закон распределения давления вдоль радиус-вектора в обеих зонах - логарифмический. При уменьшении r_f (при стягивании контура нефтеносности), давление в водоносной части пласта падает, а в нефтеносной растет. Таким образом, здесь наблюдается такая же картина, как и в прямолинейно-параллельном потоке.

2. Градиенты давления в обеих областях течения найдем, продифференцировав уравнения (9.22):

, (9.23)

Из полученных формул следует, что градиенты давления во времени растут как в водоносной, так и в нефтеносной областях (так как знаменатели в этих формулах уменьшаются во времени). На границе раздела жидкостей (при r = r_f) градиент давления в нефтеносной области больше, чем в водоносной, в μ₀ раз. Это говорит о том, что на пьезометрическая линия имеет излом.

3. Скорости фильтрации жидкостей определим из закона Дарси и используя выражения (9.23)

,

, (9.24)

Из этих формул видно, что скорости фильтрации как воды, так и нефти во времени растут (так как знаменатель в указанных формулах уменьшается во времени).

4. Дебит скважины Q найдем, умножив скорость фильтрации ω_в на площадь. При постоянной депрессии Δр = р_к - р_с, дебит скважины увеличивается во времени, т. е. с приближением к ней контура нефтеносности. Такое самопроизвольное увеличение дебита нефти перед прорывом воды в скважину подтверждается и промысловыми наблюдениями. При μ_в = μ_н формула дебита превращается в формулу Дюпюи.

5. Закон движения границы раздела жидкостей r_f определим из соотношения между скоростью фильтрации и средней скоростью движения:

Откуда можно найти время вытеснения нефти водой, т.е. оценка времени прорыва воды в скважину.

t - стр. 275 Басниев, 2005 \формула длинная и сложная\

Устойчивость движения границы раздела жидкостей

В реальных условиях движение границы раздела жидкостей выглядит, естественно, сложнее, чем по рассмотренным схемам, так как водонефтяной или газоводяной контакт совершает сложное пространственное движение.

В реальных условиях продуктивные пласты наклонны, и граница раздела жидкостей, имеющая горизонтальное начальное положение, в процессе разработки залежи нефти деформируется. Пусть нефтяная залежь в наклонном пласте (рис. 7.7) имеет горизонтальное начальное положение водонефтяного контакта А₀В₀. При отборе нефти граница раздела вода - нефть будет перемещаться, занимая последовательно положения А₁В₁, А₂В₂ и т.д. Рассмотрим вопрос об устойчивости движения границы раздела. Скорости фильтрации каждой жидкости согласно закону Дарси определяются при учете силы тяжести по формулам:

, (9.25)

где ось z направлена вертикально вверх, а координата s в направлении потока.

Вследствие неизбежных возмущений на границе раздела частицы воды попадают в область, занятую нефтью, и при этом их дальнейшее движение может либо ускоряться, либо замедляться. В первом случае, при ускорении движения частиц воды движение границы раздела будет неустойчивым; во втором, при замедлении движения частиц воды - устойчивым.

Условия устойчивости движения границы раздела можно установить из следующих элементарных соображений. Обозначим через ω_вн скорость фильтрации частиц воды, попавших в поток нефти с градиентом давления, к_вн - проницаемость пласта для воды в зоне движения нефти. Тогда из первого соотношения (9.25) получим:

(9.26)

Для скорости фильтрации основных частиц нефти, соприкасающихся с проникшими туда частицами воды, согласно второму уравнению (9.25), можно записать

(9.27)

Из уравнений (9.26) и (9.27) можно получить связь между скоростями фильтрации ω_вн и ω_н. /правые части выражений приравнять и выразить ω_вн/

Об устойчивости движения границы раздела можно судить по разности скоростей фильтрации:

(9.28)

где α - угол наклона пласта к горизонту, так что dz/ds = sin а (см.рис. 7.7).

При Δω ≤ 0 движение границы раздела жидкостей будет устойчивым,

при Δω > 0 движение неустойчиво.

Величина k_вн близка к проницаемости так называемой переходной зоны - зоны, оставленной нефтью и занятой водой. Обычно k_вн меньше k_н

Считая в первом приближении, что k_вн ≈ k_н, преобразуем соотношение (9.28) к виду

(9.29)

Так как при устойчивом движении границы Δω ≤ 0, то из (9.29) найдем условие устойчивости в виде

, (9.30)

накладывающее ограничение на скорость фильтрации нефти ω_н на границе раздела.

Из (9.30) следует, что при очень малых скоростях при ρ_в (1000 кг/м³) > ρ_н (896 кг/м³) и при вытеснении снизу вверх (α > 0) движение устойчиво, даже если вязкость нефти μ_Н (28 мПас) существенно превышает вязкость воды μ_в (1 мПас). Поэтому, например, когда водонефтяной контакт (ВНК) далек от добывающих скважин и ω_н мала, граница раздела движется устойчиво. С приближением ВНК и с увеличением ω_н согласно (9.30) разность Δω увеличивается. Когда Δω > 0, движение неустойчиво, и язык подошвенной воды будет двигаться гораздо быстрее.

9.4. Движение границы раздела в пористой среде под действием гравитационных сил *

9.5. Образование конуса подошвенной воды*

При разработке нефтяных месторождений наблюдается явление, известное как образование водяных конусов. Это явление обычно наблюдается в монолитных пластах, в которых возможно движение жидкости поперек напластований. При создании на скважине определенной депрессии первоначально горизонтальная граница раздела между нефтью и подошвенной водой (водонефтяной контакт) искривляется, образуется водяной холм, который называется конусом.

Точной теории водяного конуса до сего времени не имеется ввиду чрезвычайной сложности задачи. Приближенная теория, позволяющая рассчитать предельный безводный дебит скважины и форму стационарного конуса, была предложена М. Маскетом и И.А. Чарным.

Так как добыча нефти в данном случае сопровождается непрерывным замещением нефти подошвенной водой, конус является нестационарным. Однако при достаточно малых депрессиях, характерных для безводного притока нефти, и существенном влиянии силы тяжести образовавшийся конус поднимается медленно и устойчиво. Вертикальные компоненты скорости значительно меньше горизонтальных. Процесс имеет квазистационарный характер. Поэтому для приближенного расчета нестационарного конуса в этих условиях можно применять метод последовательной смены стационарных состояний, при котором конус в каждый момент времени считается стационарным.

Рассмотрим задачу о притоке нефти к несовершенной скважине (по степени вскрытия пласта) при устойчивом неподвижном конусе подошвенной воды. Будем считать пласт изотропным, кровлю и подошву пласта горизонтальными, начальное положение водонефтяного контакта также горизонтальным. Предположим, что водяной конус неподвижен и устойчив и к скважине притекает чистая нефть. Направим оси координат так, как показано на рис. 7.11, а. Обозначим нефтеносную толщину h, глубину вскрытия - b, радиус скважины - r_с.

В точной постановке требуется решить уравнение Лапласа для потенциала (треугольник наоборот - градиент) при следующих граничных условиях: кровля пласта непроницаема; поверхность водонефтяного контакта, форма которой неизвестна и сама подлежит определению, также непроницаема для нефти. Основная сложность такой задачи заключается в том, что форма границы раздела воды и нефти, т. е. форма конуса, неизвестна. Таким образом, помимо трудностей, связанных с решением уравнения Лапласа, неизвестна область, в которой это решение должно быть найдено.

Выясним условия, при которых водяной конус будет неподвижным.

Предположим, что распределение давления в любой точке пласта известно, т.е. известна функция р = p(r, z). Выделим на вершине конуса (r = 0) элементарный вертикальный цилиндрик пористой среды площадью df, высотой dz, заполненный водой, и рассмотрим силы, которые на него действуют (см. рис. 7.11,б), предполагая, что этот цилиндрик попал в нефтяную часть.

Пусть давление на верхнюю грань будет р(0, z) = р, давление на нижнюю грань р'. Очевидно,

.

Сила, которая влечет эту частицу вверх, равняется

где m - пористость.

Вниз частицу воды влечет ее собственный вес, равный ρ_вgmdzdf, где ρ_в плотность воды.

Условие устойчивости частицы воды, таким образом, имеет вид:

или (9.31)

Условие (9.31) можно упростить, перейдя от давления к потенциалу Ф. Для наших условий, когда ось z направлена вниз, имеем:

(9.32)

гре к - проницаемость; μ - вязкость нефти; ρ_н - плотность нефти.

Из формулы (9.32) находим давление р. После чего условие устойчивости конуса (9.31) принимает вид

, (9.33)

Используем теперь условие, что вода неподвижна и, следовательно, давление в ней распределено гидростатически.

Пусть на некотором расстоянии от скважины R_o толщина нефтяного пласта равна h_о и известно давление р₀ на границе раздела. Тогда, так как вода неподвижна, давление в произвольной точке границы раздела:

(9.34)

Подставив этот значение P в выражение (9.32), получим:

(9.35)

где Ф_о - потенциал точки с давлением р₀.

Это означает, что вдоль границы раздела текущей нефти и неподвижной воды потенциал изменяется линейно в зависимости от координаты z.

На рис. 7.12 приведены кривые распределения потенциала вдоль оси скважины и вдоль цилиндрической поверхности радиусом R_o. Вдоль поверхности R_o потенциал будем считать постоянным: Ф = Фо (прямая DN).

Уравнение (9.35) изображается прямой DC, наклоненной к вертикали под углом β с угловым коэффициентом, равным. Где-то на этой прямой лежит потенциал вершины конуса С. Если бы была известна высота подъема конуса, то сразу можно было бы найти этот потенциал.

Теперь посмотрим, какой вид будет иметь распределение потенциала вдоль стенки скважины и ниже в нефтяной части пласта. Наименьшее давление, а, следовательно, и наименьший потенциал будут на стенках скважины, причем вдоль стенок скважины потенциал считается распределенным равномерно, так как на стенке скважины давление можно считать гидростатическим. Обозначим потенциал на стенке скважины Ф_с. Ниже донышка скважины потенциал будет возрастать так, как показано на рис. 7.12, т.е. выпуклостью вправо. Действительно, вертикальная составляющая скорости фильтрации определяется по формуле. Вершина конуса по условию неподвижна. Следовательно, скорость нефти на этой вершине обращается в нуль, поэтому касательная в этой точке должна быть вертикальной. К оси скважины подтекают струйки. Поэтому скорость вдоль оси скважины монотонно возрастает от нуля до максимального значения на донышке. Таким образом, вдоль оси z скважины монотонно возрастает, и кривая распределения потенциала Ф = Ф (0, z) должна быть обращена выпуклостью вправо, как показано на рис. 7.12 (кривая ВС).

Высота конуса определяется положением точки пересечения С прямой DC и кривой Ф = Ф (0,z).

Предположим теперь, что при сохранении потенциала Ф_о дебит скважины начал увеличиваться. Это достигается соответствующим уменьшением забойного потенциала Ф_с на стенке скважины. Условие устойчивости водяного конуса выражается формулой (9.33). Отсюда следует, что перед началом прорыва воды распределение потенциала в нефтяной части Ф(0, z) ниже дна скважины будет изображаться кривой С'В', касательная к которой в вершине конуса составит с вертикалью угол. Дебит скважины Q_пред, соответствующий предельному состоянию конуса, называется предельным безводным дебитом.

Анализируя распределение потенциала вдоль оси скважины при невозмущенном и возмущенном движении нефти, И. А. Чарный установил верхний и нижний пределы, между которыми находится предельный безводный дебит: Q_l > Q_прeд > Q₂

При этом верхний предел Q_l находится в результате сопоставления движения нефти при наличии конуса воды с плоскорадиальным стационарным напорным потоком нефти в пласте с постоянной толщиной h_о; нижний предел Q₂ определяется из решения задачи о напорном притоке нефти к несовершенной скважине в пласте толщиной h₀ (тема 3).

Расчеты показывают, что Q_l и Q₂ различаются на 25-30%, причем Q_прeд ближе к Q₁, чем к Q₂.

Контрольные вопросы и задачи

1. Каким условиям должны удовлетворять скорости жидкостей и давления на границе раздела между ними?

2. Найти дебит добывающей скважины при радиальном поршневом вытеснении нефти водой в горизонтальном неоднородном пласте, проницаемость которого меняется по закону k(r) = аr + b.

3. Как меняется давление на границе раздела при увеличении отношения коэффициентов вязкости нефти и воды μ_н/μ_в?

4. В каком случае более вероятно устойчивое продвижение водонефтяного контакта: вдали от добывающих скважин или в призабойной зоне?

5. Нефть с плотностью, мало отличающейся от плотности воды, вытесняется снизу вверх в наклонном пласте (см. рис. 7.7). При каком условии движение границы раздела неустойчиво? Как в этом случае соотносятся скорости перемещения точек А границы вдоль кровли и точек В вдоль подошвы пласта?