Уравнение линии тока. Распределение давления и температуры

Распределение давления и температуры

В связи с указанными особенностями характеристического уравнения рассмотрим закон распределения давления в следу­ющих трех предположениях:

а) плотность постоянна независимо от теплового режима;

б) плотность изменяется, под­чиняясь изотермическому закону (Т=const), при этом

(IV.1)

где:

— координаты частицы и – время

При составлении уравнений, которые характеризовали бы движение различных частиц потока, надо учитывать положение частиц в начальный момент времени t₀, т. е. начальные коорди­наты частиц.

Обозначив эти координаты а, b и с и внеся их в уравнения (IV.I), можно получить систему уравнений в виде:

(IV.2)

В этих уравнениях начальные координаты a, b и с могут рас­сматриваться как независимые переменные. Следовательно, те­кущие координаты х, у и z некоторой движущейся частицы яв­ляются функциями четырех переменных а, b, с и t. Эти перемен­ные называют переменными Лагранжа.

Выбирая некоторую частицу жидкости, т. е. назначая по собственному усмотрению значения а, b и с, получим текущие координаты х, у и z для выбранной нами частицы (рис. IV.1)

Таким образом, если система (IV.2) известна, то движение потока жидкости вполне определено. Действительно, скорости частицы определятся (как это известно из кинематики точки) как первые производные по времени от координат х, у и z, а ус­корения— как вторые производные по времени, направления же векторов скорости и ускорения находятся по направляющим конусам.

Траектория любой частицы определяется или непосредствен­но из уравнений (IV.1) путем вычисления координат х, у и г данной выбранной частицы для ряда моментов времени, или пу­тем исключения из этих уравнений времени t.

В методе Эйлера рассматривается скорость в каждой точ­ке области, занятой движущейся жидкостью.

При неустановившемся движении все поле скоростей изменя­ется во времени,, и поэтому для одной и той же точки пространства скорость движения жидкости различна в разные моменты времени.

Обозначим через и, v и ω проекции скорости на оси коорди­нат; тогда для неустановившегося движения:

(IV.3)

Обозначим полную скорость в этой главе, где рассматрива­ются неодномерные течения, через V; величина этой скорости равняется, очевидно:

Для установившегося движения:

(IV,3a)

Располагая уравнениями (IV.3) и (IV.3,а), можно опреде­лить скорость в данной точке по величине и направлению.

(IV.8)

Эти уравнения представляют собой выражения для проек­ции ускорении в координатах Эйлера.

Рассмотрим случай плоского движения жидкости. Обозначим уравнение линии тока в этом случае через:

(IV.9)

имеем:, а дифференцируя уравнение (IV.9), находим

Таким образом,

в двумерном случае (IV.10)

что и является уравнением линии тока в дифференциальном виде.

При пространственном движении дифференциальные уравнения линии тока записываются как:

или (в развернутом виде)

(IV.10a)

Проинтегрировав уравнения (IV.10), можно получить уравнение линии тока в конечном виде.

Отметим, что для установившегося движения уравнения линии тока являются одновременно уравнениями траекторий.

Оба метода исследования жидкости – и метод Лагранжа, и метод Эйлера – математически связаны между собой и возможен переход от уравнений (IV.2)к уравнениям (IV.3). В практическом применении метод Эйлера более прост, поэтому дальнейшее изложение основано на его применении.