Основные уравнения и поверхность уровня

Как отмечалось выше, газы относятся к сжимаемым жидко­стям, и уравнения равновесия и движения газов отличаются от "таковых для жидкости лишь тем, что они должны учитывать сжимаемость газов. Поэтому полученные ранее дифференциальные уравнения равновесия являются общими для жидкости и газов.

Итак, для газов справедливы:

дифференциальное уравнение равновесия

характеристическое уравнение

И уравнение поверхности уровня

Рассмотрим равновесие газов в условиях земного тяготения и решим основную задачу — распределение гидростатического давления, т. е. определим функцию p=f(x,у,z).

Поверхность уровня. Расположим координатную систему так, чтобы оси Ох и Оу были горизонтальны, а ось Oz была на­правлена вверх. Тогда проекции ускорения объемной силы (си­лы земного тяготения) соответственно равны: Х = 0, Y=0 и Z = – g (рис.1)

Подставляя эти значения в уравнение поверхности уровня, получим (также, как и для жидкости)

(II. 1)

и, интегрируя это уравнение, найдем – gz = const или z= C, т. е. уравнение семейства горизонтальных плоскостей (напри­мер, А на рис. II.1). Следовательно, в пределах любой горизон­тальной плоскости, проведенной через область, занятую покоя­щимся газом, давление остается неизменным. Например, в некоторой замкнутой камере (рис. II.2) давления в точках А и В плоскости п—п равны между собой (Р_А = Р_В). Но эти давления

могут отличаться от давления наружного воздуха Р_С в точке С.

Итак, при равновесии газа гидростатическое давление в точ­ке изменяется только с высотой расположения этой точки Р=f(z).

Эту зависимость находим путем совместного решения основ­ного дифференциального уравнения гидростатики и характери­стического уравнения. Как известно из введения, последнее оп­ределяет собой связь между плотностью, давлением и температурой, которая устанавливается законами термодинамики.

На­помним еще раз эти законы, Уравнение состояния газа записывается в виде:

где:

– удельный объем, т.е. объем массы газа которой равен 1 Н; [ v ] = [м³/Н] и температура T = const.

Тогда уравнение состояния определяется законом Бойля–Мариотта

Вэтом случае масса газа при изменении объема или отдает тепловую энергию (при сжатии), или получает ее извне (при расширении).

Таким образом, изотермический процесс сопровождается теплообменом.

Адиабатический процесс представляет собой случай измене­ния давления в условиях отсутствия теплообмена. Уравнение адиабаты имеет вид:

где:

k– показатель адиабаты (для воздуха обычно принимают).

Адиабатический процесс является частным случаем более общего политропического процесса, уравнение которого записы­вается в виде: