Взаимное пересечение поверхностей

Две кривые поверхности в общем случае пересекаются по пространственной кривой линии. Для построения этой линии, в зависимости от того, как заданы поверхности, применяют метод вспомогательных секущих плоскостей или метод секущих сфер.

При использовании метода секущих плоскостей вводится ряд вспомогательных плоскостей, пересекающих каждую поверхность по линии, простой по построению (окружность или прямая). На пересечении линий пересечения определяются общие для поверхностей точки. Иногда целесообразно использовать вспомогательные секущие сферы, так как сфера, центр которой располагается на оси поверхности вращения, пересекает ее по окружности (рис. 6.10).

Использование метода сфер требует выполнения следующих условий:

1. Оси поверхностей вращения должны пересекаться. Центр секущих сфер выбирается в точке пересечения осей.

2. Оси пересекающихся поверхностей вращения должны быть параллельны какой-либо плоскости проекции.

Рис. 6.10

Пример 8. Определить линию пересечения вертикального конуса и горизонтального цилиндра (рис. 6.11).

Решение. Для решения задачи удобно использовать способ вспомогательных секущих плоскостей. Если рассекать обе поверхности горизонтальными плоскостями уровня, то линии сечения будут простыми для построения линиями: для конуса – окружности, для цилиндра – образующие.

Рис. 6.11. Способ секущих плоскостей

Сначала определим опорные точки. Это точки 1 и 2. Они определяются на пересечении очерковых образующих конуса с фронтальной проекцией цилиндра.

Боковая поверхность цилиндра является фронтально проецирующей.

Для нахождения промежуточных точек вводят ряд вспомогательных секущих горизонтальных плоскостей уровня S¹ – S⁵. Точки 3 и 4, определённые введением плоскости S², проходящей через ось цилиндра, являются точками границы видимости на горизонтальной проекции сечения. Полученные точки плавно соединяются с учётом видимости.

Пример 9. Определить линию пересечения вертикального и горизонтального конусов (рис. 6.12).

Решение. В данном случае целесообразно использовать метод секущих сфер, так как оси конусов пересекаются и параллельны фронтальной плоскости проекций. Первоначально определяем опорные (характерные) точки на пресечении очерковых образующих – точки 1 и 2. Для определения точек перехода через границу видимости вводим горизонтальную плоскость уровня S. Она пересекает вертикальный конус по окружности, а горизонтальный – по очерковым образующим. На их пересечении определяем точки 3 и 4.

Для нахождения промежуточных точек используем секущие сферы. Минимальная сфера радиуса R _min вписывается в больший конус. Оба конуса пересекаются сферой по окружностям, которые проецируются на фронтальную плоскость в виде прямых линий. На пересечении этих линий определяем точки 5 и 6. Далее вводим сферу большего радиуса, определяем точки 7 и 8. Полученные точки переносим на горизонтальную проекцию и плавно соединяем с учётом видимости.

Рис. 6.12

Вопросы и задания для самоконтроля

1. Какая поверхность называется многогранником?

2. Перечислите правильные многогранники.

3. Что такое развёртка многогранника и какие способы её построения существуют?

4. Что называется каркасом поверхности?

5. Как определяют проекции точки, принадлежащей поверх­ности вращения?

6. При каком расположении секущей плоскости в сечении конуса получаются окружность, парабола, эллипс и гипербола?

7. В чём сущность способов секущих плоскостей и секущих сфер при определении линии пересечения поверхностей вращения?

8. Определите линию пересечения двух конусов с вертикальными осями вращения (конусы задайте самостоятельно).

7. Элементы компьютерной графики в начертательной
геометрии и черчении

Компьютерная графика – это совокупность средств и приёмов для автоматизации создания, хранения и воспроизведения графической информации с помощью ЭВМ. Она является одной из быстро развивающихся областей применения вычислительной техники. Системы автоматизированного проектирования (САПР) освобождают конструктора от рутинной работы по созданию чертежей, резко повышают производительность труда. В настоящее время существуют большое количество САПР различной сложности и назначения. Значительное распространение получила система автоматизации чертёжно-графических работ AutoCAD (Автокад) различных версий. Автокад является не только графическим редактором, но и мощной средой программирования. Это даёт широкие возможности для разработки САПР, специализированных на конкретную предметную область.

В настоящее время в проектных организациях и конструкторских бюро создаются и используются прикладные параметри­ческие программы. Поэтому возникла проблема подготовки инженеров-конструкторов-программистов.

При изучении в техническом вузе дисциплины "Инженерная и машинная графика" фактически происходит первое приобщение студентов к инженерной деятельности. С введением раздела "Машинная графика" на I курсе начинается изучение возмож­ностей САПР. Студенты знакомятся со структурой меню системы, осваивают команды, выполняя чертежи деталей, сборочные чертежи, схемы.