Особые линии поверхностей

Среди множества линий, которые можно построить на поверхности, имеются семейства особых линий, которые занимают частное положение относительно плоскостей проекций. Рассмотрим два типа особых линий поверхностей:

- линии уровня;

- линии одинакового наклона.

Примеры построения прямых уровня – горизонтали h и фронтали f, принадлежащих плоской поверхности, заданной пересекающимися прямыми m и n, приведены на рис. 24, а. На сферической поверхности окружности l, p и q соответственно линии горизонтального, фронтального и профильного уровня (рис. 24, б).

Рис. 24

Линию поверхности, касательные, в каждой точке которой образуют равные углы с плоскостью проекций, называют линией одинакового наклона. На рис. 25, а показана линия одинакового наклона цилиндрической поверхности к горизонтальной плоскости проекций – цилиндрическая винтовая линия (см. лекция 8) и прямые одинакового наклона плоскости треугольника (рис. 25, б).

Рис. 25

С практической точки зрения особое значение имеют прямые наибольшего наклона плоскости, т. е. прямые, образующие наибольшие углы с плоскостями проекций. При помощи таких прямых, например, можно определить углы наклона плоскости общего положения к плоскостям проекций.

По отношению к горизонтальной плоскости проекций прямая наибольшего наклона является прямой ската, которая представляет собой траекторию материальной точки, свободно катящейся по плоскости под действием силы тяжести.

Для построения прямых наибольшего наклона плоскости на комплексном чертеже докажем следующую теорему: прямые наибольшего наклона плоскости перпендикулярны ее соответствующим прямым уровня.

Докажем, например, что прямая ската перпендикулярна горизонталям плоскости, для чего из точки A на плоскости Γ проведем прямую AB перпендикулярно горизонтали h и докажем, что угол (α) наклона прямой AB к горизонтальной плоскости проекций Π₁ является наибольшим (рис. 26, а). Доказательство проведем от противного.

Предположим, что существует угол α', который больше чем α. Этот угол образован прямой AB', принадлежащей плоскости Γ, которая является наклонной по отношению к горизонтали h. Для опровержения высказанного предположения рассмотрим прямоугольные треугольники ABA₁ и AB'A₁ (рис. 26, а, б), в которых гипотенуза AB и катет A₁B одного треугольника меньшесоответственно AB' и A₁ B' другого треугольника,так как AB и A₁B перпендикуляры к горизонтали h, а AB' и A₁B' - наклонные. Следовательно, угол β < β'. И поскольку α + β = 90⁰ и α' + β' = 90⁰, то угол α > α'.

Рис. 26

Таким образом, доказано, что угол α наибольший из всех возможных и поэтому AB является прямой наибольшего наклона плоскости Γ к горизонтальной плоскости проекций Π₁.

Рис. 27

На рис. 27 приведены примеры построения на комплексном чертеже прямых наибольшего наклона MN и KL, расположенных соответственно в плоскостях Γ(p ∩ q) и ABC. Прямая MN, построенная в плоскости Γ перпендикулярна ее горизонтали h, является прямой ската, а KL, построенная в плоскости ABC, является прямой наибольшего наклона к фронтальной плоскости проекций.