Дифференцирование функции, заданной неявно

Известно, что функция может быть задана неявно уравнением, связывающим переменные и :

.

Например, уравнение определяет функцию , при этом DER.

Уравнение выполняется только при и задает точку . Уравнение не определяет никакой функции на R, так как оно не имеет действительных корней, а значит, нельзя рассматривать как функцию от . Итак, уравнение вида не всегда задает функцию .

Пусть уравнение определяет как некоторую функцию от . Если в это уравнение подставить вместо у функцию , то получим тождество

.

Придадим приращение , тогда значению аргумента будет соответствовать значение функции , но с другой стороны

.

Разность также равна нулю:

.

Как было показано выше, ее полное приращение в этой точке можно представить в виде

.

Разделим последнее равенство на :

.

Откуда

.

Перейдя к пределу, получим формулу вычисления производной функции, заданной неявно:

.

Аналогично можно вычислить частные производные неявной функции переменных по всем ее аргументам.

Например, для функции справедливо:

, .

Пример. Вычислить производную неявной функции, заданной уравнением .

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через .

, .

Следовательно,

.

Пример. Вычислить производную неявной функции, заданной уравнением .

Решение. Обозначим левую часть данного уравнения через .

, .

Следовательно,

.

Пример. Найти частные производные неявной функции , заданной уравнением .

Решение. , , . Следовательно,

,

.