2014-02-04
18333
Геометрическим образом (графиком) функции двух независимых переменных 
в пространстве R3 является некоторая поверхность Q. Выберем на ней точку 
.
Определение. Касательной плоскостью к поверхности Q в данной точке 
называется плоскость, которая содержит все касательные к кривым, проведенным на поверхности через эту точку.
Уравнение касательной плоскости к поверхности в точке имеет вид
.
Если уравнение поверхности Q задано неявной функцией
, то:
, 
.
Подставим значения частных производных в уравнение касательной:
.
Следовательно, уравнение касательной плоскости к поверхности в точке в случае неявного задания функции имеет вид
Определение. Точка, в которой 
или хотя бы одна из этих производных не существует, называется особой точкой поверхности. В такой точке поверхность может не иметь касательной.
Определение. Нормалью к поверхности Q в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной плоскости, проведенной в данной точке поверхности.
Запишем уравнения нормали к поверхности в точке , пользуясь условием перпендикулярности прямой и плоскости:
Если поверхность Q задана неявно функцией то уравнения нормали принимают вид
.
Пример. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке 
.
Решение. Уравнение поверхности задано явной функцией. Вычислим частные производные функции в точке :
, 
,
, 
.
Тогда уравнение касательной плоскости примет вид
.
Найдем уравнения нормали:
Пример. Найти уравнение касательной плоскости и нормали к поверхности 
в точке 
.
Решение. Уравнение поверхности задано неявно. Вычислим частные производные функции в точке
, 
, 
,
, 
, 
.
Следовательно, уравнение касательной плоскости имеет вид
.
Находим уравнения нормали
.
