2014-02-04
841
Частные производные высших порядков. Пусть функция 
имеет непрерывные частные производные 
и 
в точке 
D(
). Эти производные, в свою очередь, являются функциями двух переменных 
и 
. Будем называть и частными производными первого порядка.
Частные производные по и по от частных производных первого порядка, если они существуют, называются частными производными второго порядкаот функции в точке и обозначаются
, 
, 
, 
(если 
дифференцируется последовательно два раза по );
, 
, 
, 
(если дифференцируется сначала по , а затем по );
, 
, 
, 
(если дифференцируется сначала по , а затем по );
, 
, 
, 
(если дифференцируется последовательно два раза по ).
Производные второго порядка можно снова дифференцировать как по , так и по . В результате получим восемь частных производных третьего порядка:
, 
, 
, 
, 
, 
, 
, 
.
Аналогично, частная производная от производной 
-го порядка называется частной производной 
-го порядкаи обозначается
, 
, 
и т. д.
Частные производные высших порядков функции 
, взятые по различным переменным, например, , 
, , и т.д., называются смешанными производными.
Среди частных производных второго порядка функции имеются две смешанные производные и .
Возникает вопрос: зависит ли результат дифференцирования функций нескольких переменных от порядка дифференцирования по разным переменным.
Справедлива следующая
Теорема. Если функция и ее частные производные , , 
и определены и непрерывны в точке 
и в некоторой ее окрестности, то 
.
Замечание. Данная теорема, а также все приведенные выше рассуждения имеют место и для функции любого числа переменных.
Пример. Найти частные производные второго порядка функции
.
Решение. Функция определена и непрерывна на R2. Найдем частные производные первого порядка
, 
.
Они определены и непрерывны на R2. Найдем частные производные второго порядка
, 
,
.
Дифференциалы высших порядков. Пусть — функция двух независимых переменных и , дифференцируемая в области D(). Придавая и приращения 
, 
, в любой точке 
D
можно найти полный дифференциал
,
который называют дифференциалом первого порядка функции .
Дифференциал от дифференциала первого порядка в любой точке D, если он существует, называется дифференциалом второго порядка и обозначается
.
Найдем аналитическое выражение для 
, считая 
и 
постоянными:
.
Поступая аналогично, получаем аналитическое выражение для дифференциала третьего порядка 
:
.
Замечание. Приведенные выше формулы дифференциалов не обладают свойствами инвариантности для сложных функций.
Пример. Найти 
и , если 
.
Решение. Используем формулу для вычисления полного дифференциала 
.
, 
.
Для определения вычислим предварительно частные производные второго порядка:
, 
, 
.
