Формула Грина

Формула Грина устанавливает связь между двойным интегралом по области и криволинейным интегралом по контуру , ограничивающему эту область. Будем считать, что область является стандартной в направлении каждой координатной оси и снизу ограничена графиком функции (дугой ),сверху — графиком функции (дугой ),которые вместе составляют замкнутый контур .

Пусть в области и на ее границе заданы функции и непрерывные вместе со своими частными производными , ,тогда

,

где обход контура совершается в положительном на­правлении, т. е. против часовой стрелки (область остается слева). Следовательно,

. (1)

Аналогично получаем

, (2)

где обход контура также совершается в положительном направлении.

Вычитая почленно (1) из (2), получаем формулу Грина

.

Замечание 1. Если обход контура совершается в отрицательном направлении, т. е. по часовой стрелке (область остается справа), то формула Грина принимает вид

.

Замечание 2. Формула Грина дает возможность вычислять площадь области с помощью криволинейного интеграла. Действительно, если , , то формула Грина перепишется так:

,

откуда

, (3)

где обход контура совершается против часовой стрелки.

Пример. Определить с помощью криволинейного интеграла площадь, ограниченную эллипсом с полуосями и .

Решение. Запишем параметрические уравнения эллипса

.

Тогда

И по формуле (3) получим

.