2014-02-04
1251
При определении криволинейного интеграла второго рода элементарная работа 
силы 
на участке 
находилась как скалярное произведение вектора 
и вектора, приближенно равного по длине и направлению участку . Вместо вектора 
, в качестве вектора, близкого к можно взять вектор 
, начало и конец которого совпадают с началом и концом участка .
Найдем скалярное произведение векторов 
и 
в координатной форме как сумму произведений соответствующих координат:
Переходя к пределу при 
, где 
― длина наибольшей из элементарных дуг , получаем точное значение работы
.
Следовательно, криволинейный интеграл второго рода в скалярной координатной форме имеет вид:
или, в более краткой форме
.
Вычисление криволинейных интегралов второго рода
Пусть линия 
задана параметрически
: 
.
Тогда по определению дифференциала
Отметим начало дуги точкой , конец — точкой 
. В этом случае говорят, что задано направление перемещения по кривой от точки 
к точке 
и тем самым указано направление ориентирующего вектора 
.
Покажем, что вычисление криволинейного интеграла второго рода по линии заданной параметрически, сводится к вычислению однократного определенного интеграла по параметру 
:
А в случае плоской кривой, когда 
, последняя формула примет вид:
Замечание. Для плоской кривой, заданной уравнением 
, 
криволинейный интеграл второго рода в координатной скалярной форме сводится к определенному интегралу по переменной 
(Выбрана ориентация , при которой 
, 
соответствуют началу и окончанию пути интегрирования.)
Если кривая задана уравнением 
, 
, то при соответствующей ориентации интегрирование по переменной 
будет осуществляться от 
до 
:
.
Пример. Вычислить 
, где — отрезок прямой с началом в точке
и концом в точке 
.
Решение. Изобразим на рисунке линию интегрирования.
Воспользуемся формулами параметрических уравнений прямой с направляющим вектором 
, проходящей через начальную точку с координатами 
:
Запишем параметрические уравнения прямой, которой принадлежит отрезок 
, приняв за направляющий вектор прямой вектор 
.
.
Начальной точкой отрезка является точка 
. Следовательно, параметрические уравнения этой прямой:
Из полученных уравнений находим, что точке соответствует значение параметра 
, а точке значение 
.
По определению дифференциала
Подставляя в интеграл значения 
и 
, а также учитывая значения параметра 
и 
, соответствующие началу и концу дуги , получим:
.
Пример. Вычислить 
, где — отрезок прямой с началом в точке
и концом в точке 
.
Решение. Изобразим на рисунке линию интегрирования.
|
Воспользуемся формулами параметрических уравнений прямой с направляющим вектором , проходящей через начальную точку с координатами :
Запишем параметрические уравнения прямой, которой принадлежит отрезок , приняв за направляющий вектор прямой вектор , т. е. 
.
Начальной точкой отрезка является точка 
. Следовательно, параметрические уравнения этой прямой:
Из полученных уравнений находим, что точке соответствует значение параметра , а точке значение .
По определению дифференциала
Учитывая, что 
и 
, подставляем в интеграл только значения 
и 
, а также значения параметра и , соответствующие началу и концу дуги
.
Пример. Вычислить 
, где —плоская кривая, являющаяся частью параболы 
от точки 
до точки 
.
Решение. Изобразим на рисунке линию интегрирования .
Воспользуемся формулой:
В данном случае 
соответствуют началу и окончанию пути интегрирования, 
, следовательно:
.
