Эксплуатации

Задача о замене оборудования.

Лекция. Управление производством. Управление запасами.

Рассмотрим 1-й шаг.

Вклад	Проект	Остаток	Прибыль из матрицы	Прибыль за шаг		Прибыль на шаге
S1	Х2	S2	f (x2)	F3	f+F	F2

Анализ результатов:

Максимальная прибыль равна 15 д.ед. Расположить денежные средства между проектами можно несколькими способами:

1)1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.

2)1 проект – 0 д.ед., 2 проект – 100 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 0 д.ед.

3)1 проект – 20 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 60 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.

4)1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 20 д.ед., 4 проект – 20 д.ед.

5)1 проект – 60 д.ед., 2 проект – 0 д.ед., 3 проект – 0 д.ед., 4 проект – 40 д.ед.

6.4. Задача распределения средств на два года

Найти оптимальный способ распределения средств S₀ = 100 тыс.руб между двумя предприятиями на два года, если вложенные средства в первое предприятие дают доход f₁(x) = 0.9x и возвращаются в размере j₁(x) = 0.5x. Аналогично, для второго предприятия f₂(x) = 0.8x и j₂(x) = 0.7x.

	1 предприятие	2 предприятие	Всего
Средства в начале года 1 года	х1	100-х1
Прибыль на первом году	0,9х1	0,8(100-х1)	(0,9-0,8)х1+80
Возврат денег	0,5х1	0,7(100-х1)	(0,5-0,7)х1+70 =70-0,2х1
Средства в начале 2 года	х2	70-0,2х1- х2	70-0,2х1
Прибыль во втором году	0,9х2	0,8(70-0,2х1- х2)	56-0,16х1+0,1х2
Прибыль за два года	0,1х1+80+56-0,16х1+0,1х2=136-0,6х1+0,1х2

Отсюда можно сделать вывод о том, что х₁=0, х₂=70, максимальная прибыль за два года составит 143 ден. ед.

Контрольные вопросы:

1.Какие задачи решаются методом динамического программирования?

2.Что означает понятие «шаговое управление»?

3.Как определяются шаги при решении задачи ДП?

4.В чем суть принципа оптимальности Беллмана?

5.Каким образом проводится условная и безусловная оптимизация?

6.Как решить задачу распределения средств на 1 год?

7. Как решить задачу распределения средств на 2 года?

8.Анализ результатов решения задачи распределения средств на 1год и на 2 года?

С течением времени любое оборудование изнашивается физически и морально, поэтому на каком-то этапе его эксплуатация становится менее выгодной, нежели приобретение и использование нового оборудования.

Поэтому возникает задача наиболее подходящего момента замены оборудования.

7. 1 Управление производством.

Рассмотрим задачу о замене оборудования на следующем

ПРИМЕРЕ:

В начале планового периода продолжительностью N = 4 года имеется оборудование, возраст которого t, причем оборудование не должно быть старше 6 лет (примем t = 2 года).

ИЗВЕСТНЫ:

- r(t) - стоимость продукции, произведенной в течение каждого года планового периода с помощью этого оборудования;

- U(t) - ежегодные затраты, связанные с эксплуатацией оборудования (эти характеристики зависят от возраста оборудования;

- s - остаточная стоимость оборудования (принимаем s = 4 д.ед.), не зависящая от его возраста;

- р - стоимость нового оборудования, включающая расходы, связанные с установкой, наладкой, запуском оборудования и не меняющаяся в данном плановом периоде (р = 13 д.ед.)

ТРЕБУЕТСЯ:

Разработать оптимальную политику в отношении имеющегося оборудования, т.е. на начало каждого года планового периода установить, сохранить в этом году оборудование или продать его по остаточной стоимости s, или купить новое оборудование, чтобы ожидаемая прибыль за N лет достигла максимальной величины.

1. Составить матрицу максимальных прибылей F_n(t) за 4 года;

2. Сформулировать по матрице максимальных прибылей оптимальные стратегии замены оборудования возрастов t₁ и t₂ лет в плановом периоде, продолжительностью 4 и 3 года.

Таблица соответствия стоимости продукции и затрат от возраста

Возраст t
Ст.продукции r(t)
Ст.расходов u(t)

РЕШЕНИЕ:

Математическая модель задачи:

Z = ΣF_i(x_i)→max

сохранить

x_i - управление

заменить

Экономический смысл переменных:

N - плановый период эксплуатации оборудования;

Z_C - прибыль в случае сохранения оборудования;

Z_З - прибыль в случае замены оборудования;

S₀ - первоначальное состояние системы;

S^H_i - предполагаемый возраст оборудования в начале i-го периода, т.е. после того, как мы примем решение сохранить или заменить его;

S_i - возраст в конце i-го периода;

r(t) - прибыль от эксплуатации;

u(t) - расходы на эксплуатацию;

s - остаточная стоимость оборудования;

p - стоимость нового оборудования;

t - возраст оборудования;

f_i - доход на i-ом шаге;

F_i - максимальный доход на i-ом шаге.

Прибыль, если в начале года выбрано управление «сохранение» оборудования:

Z_c = r(t) - u(t)

Прибыль в случае «замены»:

Z_З = s - p + r(0) - u(0)

Состояние системы (S) характеризуется возрастом оборудования

t = 0, 1, …. Значение t = 0 соответствует новому оборудованию.

В формулах максимальная прибыль на очередном шаге определяется с учетом всех возможных состояний системы, в которых она может находиться сразу после принятия решения в начале данного года.

Основное функциональное уравнение на последнем N-ом шаге:

F_N(S_N-1, x_N) = max Z_N(S_N-1, x_N)

При произвольном шаге (i<N) основное функциональное уравнение принимает вид

F_i(S_i-1, x_N) = max {Z_i(S^H_i, x_i) + F_i+1(S_i)}

Прибыль на i-ом шаге будет определяться следующей парой формул:

- при управлении «сохранение»

F_i(S^H_i, x_i) = r(S_i, x_i) - u(S^H_i)

- при управлении «замена»

Z_i(S^H_i, x_i) = s - p + r(0) - u(0)

Для нашего примера расчет начинается с последнего, четвертого года планового периода:

F₄(S₃, x₄) = max Z₄(S^H₃, x₄)

при этом:

- в случае «сохранения» оборудования:

Z₄(S^H₄, x₄) = r(S^H₄) - u(S^H₄)

- в случае «замены»:

Z₄(S^H₄, x₄) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3

Составляется 1-ая таблица, рассматриваемая все возможные НАЧАЛЬНЫЕ состояния оборудования, т.е. его возраст S₃ = 1 - 6 лет, начиная с конца - последнего шага.

Таблица 1. F₄(S₃, x₄) = max Z₄(S^H₃, x₄)

Шаг 4

Возраст S3 в конце 3-го шага	Управление x4	Предполагаемый возраст SH4 в начале 4-го шага	Прибыль Z4	Max доход на F4 шаге
	Сохранение			11сохр
Замена
	Сохранение			10сохр
Замена
	Сохранение			9сохр
Замена
	Сохранение			8сохр
Замена
	Сохранение			6сохр
Замена
	Сохранение			3замен.
Замена

Анализ таблицы показывает, что заменять оборудование выгодно только в том случае, если его возраст уже равен 6 годам, т.е. по условиям оборудование нельзя использовать далее.

Теперь анализируем ситуацию перед третьим годом исследуемого периода.

F₃(S₂, x₄) = max {Z₃(S^H₃, x₃) + F₄(S₃)}

при этом:

- в случае «сохранения оборудования»

Z₃(S^H₃, x₃) = r(S^H₃) - u(S^H₃)

- в случае «замены»

Z₃(S^H₃, x₃) = 4 - 13 + 27 - 15 = 3

Следует оптимизировать расходы за последний и предпоследний годы (за двухлетний период).

Оптимальная прибыль за 4-ый год берется из таблицы 1.

Учтем, что S^H₂ - возраст оборудования в начале третьего года сразу после принятия решения о его «сохранении» или «замене»;

S₃ - возраст оборудования к концу третьего года.

Данные в колонку F₄ переносятся из предыдущей таблице в соответствии со значением параметра S₃.

Таблица 2. F₃(S₂, x₄) = max {Z₃(S^H₃, x₃) + F₄(S₃)} Шаг 3

S1	x3	SH2	Z3 из таблицы 1	Возраст S3 в конце 3 шага	F4	Z3 + F4	F3
	Сохранение						21сохр
Замена
	Сохранение						19сохр
Замена
	Сохранение						17сохр
Замена
+4	Сохранение						14сохр
Замена
	Сохранение						14замен
Замена
	Сохранение			-	-	-	14замен
Замена

Также проводится условная оптимизация на начало второго года (шаг 2) и составляется таблица 3.

Таблица 3. F₂ (S_1,x₄) = max {Z₂(S^H₂, x₂) + F₃(S₂)} Шаг 2

S1	x2	SH1	Z2	S2	F3	Z2 + F3	F2
	Сохранение						30сохр
Замена
	Сохранение						27сохр
Замена
	Сохранение						24замен
Замена
	Сохранение						24замен
Замена
	Сохранение						24замен
Замена
	Сохранение			-	-	-	24замен
Замена

Также проводится условная оптимизация на начало первого года (шаг 1) и составляется таблица 4, которая завершает условную оптимизацию.

Таблица 4. F₁ (S_0, x₄) = max {Z₁(S^H₁, x₁) + F₂(S₁)} Шаг 1

S0	х1	SH1	Z1	S1	F2	Z1 + F2	F1
	Сохранение						38сохр
Замена
	Сохранение						34сохр
Замена
	Сохранение						33сохр
Замена
	Сохранение						33замен
Замена
	Сохранение						33замен
Замена
	Сохранение			-	-		33замен
Замена

С помощью таблиц условной оптимизации можно сформулировать оптимальную политику в отношении оборудования любого возраста не старше 6 лет в течение 4-х летнего периода.

Для наглядности основные результаты, содержащиеся в последних столбцах четырех последних построенных таблиц, оформляются в виде сводной таблицы, которая называется матрицей максимальных прибылей, и выделяются элементы, ниже которых расположены показатели суммарной прибыли, соответствующие выбору управления «ЗАМЕНА».

Элементы, расположенные выше линии выделения, находятся в области «СОХРАНЕНИЯ» оборудования.

Матрица максимальных прибылей

t	ГОДЫ
1-4	2-4	3-4
0		-	-	-
			21
2	34			10
		24
	33
			14
				3

Сформулируем оптимальную политику в отношении оборудования, возраст которого 2 года.

В матрице прибылей для t = 2 в первой колонке стоит суммарная прибыль 34 д.ед. за четыре года, при этом выбор управления «СОХРАНЕНИЕ».

К началу второго года возраст оборудования составит 3 года, поэтому в следующей колонке выбирается строка, соответствующая возрасту 3 года.

Оптимальная прибыль за второй - четвертый годы - 24 д.ед., и мы находимся в области «ЗАМЕНЫ» оборудования, следовательно, к началу 3-го года оборудование будет иметь возраст 1 год.

Прибыль за третий - четвертый годы для такого оборудования равна

21 д.ед., за последний четвертый год - 10 д.ед. (при возрасте t = 2).

ВЫВОД: рекомендуется замена оборудования в начале 2-го года