Часто приходится сталкиваться с такими ситуациями: очередь покупателей в кассах магазинов; колонна автомобилей, движение которых остановлено светофором; ряд станков, вышедших из строя и ожидающих ремонта, и т.д. Все эти ситуации объединяет то, что системам необходимо пребывать в состоянии ожидания. Ожидание является следствием вероятностного характера возникновения потребностей в обслуживании и разброса показателей обслуживающих систем, которые называют системами массового обслуживания (СМО).
Цель изучения СМО состоит в том, чтобы взять под контроль некоторые характеристики системы, установить зависимость между числом обслуживаемых единиц и качеством обслуживания. Качество обслуживания тем выше, чем больше число обслуживаемых единиц. Но экономически невыгодно иметь лишние обслуживающие единицы.
В промышленности СМО применяются при поступлении сырья, материалов, комплектующих изделий на склад и выдаче их со склада; обработке широкой номенклатуры деталей на одном и том же оборудовании; организации наладки и ремонта оборудования; определении оптимальной численности обслуживающих отделов и служб предприятий и т.д.
|
|
Основными элементами СМО являются источники заявок; их входящий поток; каналы обслуживания и выходящий поток. Это изображено на рис.
Входящий каналы выходящий
поток очередь обслуживания поток
• • • • •
• •
•
В зависимости от характера формирования очереди СМО различают:
1)системы с отказами, в которых при занятости всех каналов обслуживания заявка не встает в очередь и покидает систему необслуженной;
2)системы с неограниченными ожиданиями, в которых заявка встает в очередь, если в момент ее поступления все каналы были заняты.
3)системы смешанного типа с ожиданием и ограниченной длиной очереди: заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все места в очереди заняты. Заявка, попавшая в очередь, обслуживается обязательно.
По числу каналов обслуживания СМО делятся на одноканальные и многоканальные.
В зависимости от расположения источника требований, системы могут быть разомкнутыми (источник заявок находится вне системы) и замкнутыми (источник находится в самой системе).
Рассмотрим в отдельности элементы СМО.
Входящий поток: на практике наиболее распространенным является простейший поток заявок, обладающий свойствами стационарности ординарности и отсутствия последействия.
Стационарность характеризуется тем, что вероятность поступления определенного количества требований (заявок) в течение некоторого промежутка времени зависит только от длины этого промежутка.
|
|
Ординарность потока определяется невозможностью одновременного появления двух или более заявок.
Отсутствие последействия характеризуется тем, что поступление заявки не зависит от того, когда и сколько заявок поступило до этого момента. В этом случае вероятность того, что число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t, равно k, определяется по закону Пуассона.
Pk(t)=((λt)k / k!) е-λt
где λ – интенсивность потока заявок, т.е. среднее число заявок в единицу
_ _
времени: λ=1/τ (чел/мин, р/ч, автом/дн, кВт/ч), где τ – среднее значение интервала времени между двумя соседними заявками;
k – число заявок, поступивших на обслуживание за промежуток времени t.
Для такого потока время между двумя соседними заявками распределено экспоненциально с плотностью вероятности: f(t)= λ е-λt
Случайное время ожидания в очереди начала обслуживания считают распределенным экспоненциально: f(t)=υе-υt
где υ – интенсивность движения очереди, т.е. среднее число заявок
приходящихся на обслуживание в единицу времени: υ=1/tоч,
где t оч – среднее значение времени ожидания в очереди.
Выходящий поток заявок связан с потоками обслуживания в канале, где
_
длительность обслуживания tобс является случайной величиной и часто подчиняется показательному закону распределения с плотностью
f(t обс)= μe-μt
где μ – интенсивность потока обслуживания, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в ед. времени: μ=1/ t обс (чел/мин, р/дн, кг/ч, докум/дн)
где t – среднее время обслуживания.
Важной характеристикой СМО, объединяющей λ и μ, является интенсивность нагрузки ρ=λ/ μ
Рассмотрим n-канальные разомкнутые СМО.