Понятие об интервальном оценивании

Заменяя при проведении статистического исследования неизвестное значение параметра ….. его точечной оценкой ….., мы всегда совершаем некоторую ошибку. Большое практическое значение имеет информация о величине этой ошибки. Другими словами, возникает вопрос об определении точности оценки …., то есть о таком значении ………………………………..

Поскольку в нашем распоряжении имеются лишь выборочные данные, то можно определить только вероятность …. осуществления этого неравенства, которая называется………………………………………………………………..:

……………………………… (2.1)

Соотношение (2.1) может быть записано следующим образом:

………………………………….

Это означает, что ……………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Значение доверительной вероятности выбирается исходя из целей исследования и ответственности при принятии решения в конкретной задаче. Обычно доверительная вероятность …принимается равной ……………..……, иногда – ……..….

В литературе часто используется еще одно обозначение доверительной вероятности ………….., где….. - некоторое малое число (например, …………… или ……………), задающее вероятность того, что оцениваемый параметр окажется за пределами доверительного интервала.

Подчеркнем еще раз, что границы доверительного интервала являются случайными величинами (так как они определяются на основании выборочных данных). Именно поэтому мы можем говорить только о вероятности накрыть доверительным интервалом некоторую (неслучайную!) точку Q. Ширина доверительного интервала существенно зависит от ………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

В общем случае, задача построения доверительных интервалов является сложной математической задачей, допускающей сравнительно простое аналитическое решение лишь для некоторых частных случаев, подобных рассмотренным ниже.

2.2.4 Построение доверительных интервалов
для математического ожидания
и среднего квадратического отклонения
нормально распределенной случайной величины

Пусть на основании выборочных данных (x ₁, x ₂, …, x_n), полученных при исследовании нормально распределенной случайной величины ξ, вычислены точечные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения этой случайной величины:

………………………….. ………………………………….

Ставится задача определения на основании имеющихся опытных данных интервальных оценок параметров и изучаемой величины.

Построение доверительного интервала для математического ожидания случайной величины, распределенной по нормальному закону, основано на том факте, что …………………………………………………………

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

Это дает возможность для заданного значения доверительной вероятности ……………. и числа степеней свободы …. определить такие значения …. и …., что

…………………………………. (2.2)

В геометрической интерпретации эта вероятность численно равна площади фигуры, ограниченной кривой

t -распределения и осью абсцисс, заключенной между значениями …. и …. (см. рисунок).

Значения t ₁ и t ₂ определяются по таблице квантилей распределения Стьюдента: …………………………………………………

Преобразуем соотношение (2.2):

………………………………..……………………….…………..
отсюда

…………………………………………………………………….. (2.3)

……………………………………………………………………………………………………………………….…………………………………………………….……………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………….

Замечание 1 – Как известно, при больших значениях n = n – 1 (уже при n > 30) распределение Стьюдента приближается к нормальному распределению. В этом случае, при построении доверительного интервала для неизвестного математического ожидания вместо распределения Стьюдента можно приближенно использовать стандартизованное нормальное распределение. Соответствующий доверительный интервал будет иметь вид , где – квантиль стандартизованного нормального распределения. Для наиболее часто используемых значений доверительной вероятности Р = 1 – a значения приведены в таблице 2.1.