Распределение напряжений в поперечном сечении балки

Расчетная схема статически определимой балки, работающей на изгиб. 1.

Общепринятая схема статически определимой балки описывает балку, свободно лежащую на двух опорах с приложением сосредоточенной нагрузки Р. Для упрощения – точка приложения нагрузки равноудалена от опор.

Эти положения являются основными данными из начального курса сопротивления материалов. В приведенных описаниях с целью упрощения отсутствуют 3 параметра, характеризующие линейные размеры носителя нагрузки и параметры, характеризующие трехмерность измерения балки.

Смысл построения схемы сводится к определению рабочих напряжений элементов балки под воздействием рабочей нагрузки. Из курса сопротивления материалов известно, что напряжение в балке зависит от величины изгибающего момента М и момента сопротивления рабочего сечения балки.

Для простейшей конструкции балки:

Под действием рабочей нагрузки Р балка теряет свою первоначальную прямизну и прогибается с радиусом . Величина отклонения продольной оси от исходного положения обозначается - стрела прогиба.

Так как балка теперь является дугой произвольной кривизны, то должны измениться линейные размеры наружных волокон балки.

В качестве первого простейшего элемента, к которому, при желании, могу быть сведены почти все расчетные схемы пространственных конструкций в курсе «Сопротивления материалов» принята простейшая балка, свободно лежащая на двух опорах. При этом подразумевается, что один конец балки будет шарнирно закреплён на неподвижной опоре. Так как при нагружении балки происходит её деформирование и соответствующее изменение исходной базы расположения опор, то второй конец балки также должен быть шарнирно соединён со второй опорой, но эта опора должна иметь возможность перемещения по направлению вдоль продольной оси балки. При этом принято, что деформирующее усилие направлено перпендикулярно продольной оси балки и может быть разложено на две параллельных составляющих, равнодействующая которых и равна по величине и направлению действующему усилию. Величины этих составляющих обратно пропорциональны расстоянию приложения рабочего усилия от каждой из опор. Как правило, для упрощения рассмотрения картины распределения усилий принято располагать точку приложения рабочего усилия на равных расстояниях от опор. При этом составляющие, приходящие на каждую из опор, равны друг другу по величине и направлению.

Следовательно, в волокнах возникают сжимающие напряжения, а в наружных волокнах – растягивающие напряжения:

Так как имеется переход и изменение знака напряжений, то в какой-то точке величина их должна быть равной 0.

Положение оси, на которой напряжения равны 0, в случае симметричного сечения располагается на половине высоты

Симметричное сечение – наиболее характерный случай несущих балок.

смысл рассмотрения балок – решить проблему расположения .

При исследовании поведения «простейшей балки» мы условились о том, что примем расположение точки приложения рабочего усилия на равных расстояниях от опор. В таком несколько упрощенном варианте, по определению, под действием рабочей сосредоточенной нагрузки балка примет вид дуги определённой кривизны с некоторой «стрелой прогиба», направленной в сторону действия нагрузки. Соответственно, волокна, расположенные на внутренней стороне дуги должны быть короче волокон, расположенных на наружной стороне дуги. Из курса «Сопротивления материалов» известно, что во внутренних волокнах будут иметь место напряжения сжатия (как принято в «Сопромате» - отрицательные), в наружных волокнах, растягивающие - положительные. Следовательно, между внутренними и наружными волокнами должна быть зона с «нулевыми» значениями напряжений и «нулевыми» деформациями.