Прямая в пространстве. Виды уравнений прямой. Угол между прямыми

Собственные векторы линейного оператора и их свойства.

Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного оператора, если оператор к , получим этот же , умноженный на некоторое к.

к – собственное число оператора А=

Каждый собственный вектор имеет единственное собственное число.

Векторное уравнение прямой.

Положение прямой можно задать по точке и направляющему вектору.

Пусть прямая L задана ее точкой M₀(x₀;y₀;z₀) и направляющим вектором S(m;n;p). Возьмем на прямой L точку M(x;y;z). Обозначим радиус-векторы точек M и M₀ через r и r₀.

Тогда уравнение прямой запишется в виде:

где t – скалярный множитель (параметр).

Параметрические уравнения прямой.

Канонические уравнения прямой.

S(m;n;p) – направляющий вектор прямой L. M₀(x₀;y₀;z₀) – точка на прямой. соединяет M₀ с произвольной точкой М.

Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки.

M₁(x₁;y₁;z₁) M₂(x₂;y₂;z₂)

В качестве направляющего вектора можно задать вектор

Следовательно:

,тогда

Общее уравнение прямой.

Уравнение прямой как линию пересечения двух плоскостей. Рассмотрим:

Т.к. прямая перпендикулярна векторам n₁ и n₂ то направляющий вектор запишется как векторное произведение: