Условие оптимальности опорного плана

Табличный вид ЗЛП. Симплекс - таблицы.

СИМПЛЕКСНЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗЛП

3.1. Общая характеристика и основные этапы симплекс – метода

Основоположниками симплекс-метода являются советский математик Л.В. Канторович и американский математик Дж. Данциг.

Симплекс-методом можно решить любую ЗЛП или обнаружить ее неразрешимость. Многие специальные классы ЗЛП можно решить другими, более эффективными для этих классов методами. Однако преимущество симплекс-метода - его универсальность. Почти для всех ЭВМ разработаны стандартные программы для решения ЗЛП симплекс - методом.

Опишем общую идею симплекс-метода.

Считаем, что ЗЛП записана в каноническом виде и целевую функцию нужно минимизировать. Как мы уже знаем, оптимальный план следует искать среди опорных планов ЗЛП. Симплекс-метод не перебирает все опорные планы (что было бы часто невозможно из-за их огромного количества), а, начиная с некоторого исходного опорного плана, он последовательно переходит к другим опорным планам с уменьшением целевой функции. Симплекс-метод прекращает свою работу тогда, когда либо будет найден оптимальный опорный план, либо установлена неразрешимость задачи.

При решении ЗЛП симплекс-методом можно выделить следующие этапы:

1) приведение ЗЛП к каноническому виду;

2) приведение системы линейных уравнений к жордановой форме с неотрицательными правыми частями с одновременной проверкой на неразрешимость ЗЛП из-за противоречивости системы линейных ограничений;

3) исследование опорного плана на оптимальность;

4) исследование ЗЛП на неразрешимость из-за неограниченности снизу на ОДР целевой функции;

5) переход к новому, "лучшему" опорному плану.

Для сокращения и упорядочения записей при решении ЗЛП симплекс-методом используются так называемые симплекс-таблицы. Чтобы воспользоваться симплекс-таблицей, ЗЛП нужно привести к табличному виду. Делается это так.

Пусть ЗЛП записана в каноническом виде (2.3-2.5). Для приведения ЗЛП к табличному виду систему (2.4) следует сначала привести к жордановой форме с неотрицательными правыми частями. Предположим, что эта жорданова форма имеет вид (2.6). Выразим из (2.6) базисные переменные через свободные:

(3.1)

Подставив в целевую функцию (2.3) вместо базисных переменных их выражения через свободные переменные по формулам (3.1), исключим тем самым из целевой функции базисные переменные. Целевая функция примет вид:

(3.2)

В табличном виде целевая функция записывается так:

(3.3)

где .

Отметим следующие особенности табличного вида ЗЛП:

а) система линейных уравнений приведена к жордановой форме с неотрицательными правыми частями;

б) из целевой функции исключены базисные переменные и она записана в форме (3.3).

Перейдем теперь к описанию симплекс-таблицы. Пусть ЗЛП записана в табличном виде:

(3.4)

Тогда заполненная симплекс-таблица выглядит так.

Таблица 3.1.

Базис	Переменные	Свободные члены
			...	x_k			...
			...				...
			...				...
. . .	..	..	...	..	..	..	...	..	...
			...				...
f			...				....

Опорный план ЗПЛ: ..., называется опорным планом, соответствующим этой симплекс-таблице. Как видно из формулы (3.2), значение целевой функции при этом опорном плане равно γ₀.

Рассмотрим пример. Привести к табличному виду следующую ЗЛП и заполнить симплекс-таблицу:

Вначале ЗЛП следует привести к каноническому виду. Для этого функцию fнужно заменить на - f:

Система уравнений должна быть записана в жордановой форме с неотрицательными правыми частями. Общий прием, с помощью которого это достигается, будет рассмотрен позднее (параграф 3.7). В нашем примере такая жорданова форма уже есть с базисными переменными и . Исключим базисные переменные из целевой функции - f. Для этого выразим их через свободные и подставим эти выражения в целевую функцию.

Табличный вид ЗЛП таков:

Заполним симплекс-таблицу (для сокращения записей первый столбец озаглавлен "Б", последний столбец - "Q").

Таблица 3.2.

Б			Q
		-5
	-7	-2
-f	-4		-20

Опорный план, соответствующий этой симплекс-таблице, имеет вид:

. Значение функции - f при этом опорном плане равно - 20.

Пусть имеется заполненная симплекс-таблица. Сформулируем условие оптимальности опорного плана.

Если в нижней строке симплекс-таблицы все числа, кроме, быть может, самого правого, неположительны, то опорный план, соответствующий этой таблице, оптимален.

Для простоты обоснуем справедливость этого утверждения на примере. Пусть заполненная симплекс-таблица имеет вид:

Таблица 3.3.

Б				Q
		-1
			-1
f	-5	-3	-1

Значение целевой функции при опорном плане, соответствующем симплекс-таблице, равно 6. Выпишем целевую функцию в табличном виде:, откуда . Так как при любом допустимом решении ЗЛП переменные принимают только неотрицательные значения, то из последней записи целевой функции видно, что ее значение в любой точке ОДР не меньше 6. Следовательно, минимальное значение целевой функции на ОДР равно 6 и оно достигается при опорном плане, соответствующем симплекс-таблице, .

3.4. Условие неразрешимости ЗЛП из-за неограниченности снизу на ОДР целевой функции.

Если для ЗЛП заполнена симплекс-таблица, то ОДР задачи непуста, так опорный план, соответствующий симплекс-таблице, принадлежит ОДР. Однако ЗЛП может быть неразрешимой из-за неограниченности снизу на ОДР целевой функции.

Условие неразрешимости формулируется так.

Если симплекс-таблица содержит хотя бы один столбец, отличный от самого правого, у которого в нижней строке стоит положительное число, а во всех остальных строках столбца - неположительные числа, то ЗЛП неразрешима из-за неограниченности снизу на ОДР целевой функции.

Для обоснования снова воспользуемся примером.

Таблица 3.4.

Б				Q
			-2
	-3		-1
f		-1

Столбец в нижней строке содержит положительное число, а в остальных строках - неположительные числа. Докажем неразрешимость ЗЛП.

Выпишем жорданову форму, соответствующую симплекс-таблице, и перенесем члены, содержащие , в правую часть. Получим

Пусть а - произвольное положительное число. Очевидно, ЗЛП имеет следующее допустимое решение:. Вычислим значение целевой функции при этом допустимом решении. Из таблицы 3.4 имеем:

. При указанном допустимом решении f = 4 - 2а. Отсюда видим, что значение целевой функции может стать как угодно малым при достаточно большом значении а. Иначе говоря, целевая функция не ограничена снизу на ОДР. Следовательно, ЗЛП неразрешима.

3.5. Переход к новому опорному плану.

Предположим, что условия оптимальности и неразрешимости не выполняются. Тогда симплекс-метод переходит к новому опорному плану. Этот переход совершается за счет выведения из базиса одной из базисных переменных и введения в базис одной из свободных переменных. При этом должны выполняться следующие два условия:

1) новый базис должен быть по-прежнему допустимым, т.е. правые части соответствующей жордановой формы должны быть по-прежнему неотрицательными;

2) при новом опорном плане значение целевой функции не должно превышать ее значения при прежнем опорном плане.

Столбец симплекс-таблицы, в котором стоит переменная, вводимая в базис, называется генеральным столбцом. Строка, в которой стоит переменная, выводимая из базиса, называется генеральной строкой. Элемент, стоящий на пересечении генеральной строки и генерального столбца, называется генеральным элементом.

Правило выбора генерального элемента.

В качестве генерального столбца выбирается любой столбец симплекс-таблицы, отличный от самого правого, у которого в нижней строке стоит положительное число. Затем рассматриваются только те строки симплекс-таблицы, отличные от самой нижней, у которых на пересечении с генеральным столбцом стоят положительные числа. Для каждой из таких строк вычисляется отношение свободного члена к элементу, стоящему в генеральном столбце. Строка, для которой это отношение минимально, выбирается в качестве генеральной. Элемент, стоящий на пересечении генеральной строки и генерального столбца, и будет генеральным элементом.

Проиллюстрируем это правило на примере.

Таблица 3.5.

Б			Q
	2	-1

	-2
F

В качестве генерального столбца можно выбрать либо столбец , либо столбец . Выберем (чаще всего выбирают тот столбец, у которого внизу большее положительное число). Теперь приступим к выбору генеральной строки. Для этого рассмотрим две строки - и . Составляем отношения 4:2 и 8:3. Меньшее значение имеет отношение 4:2, поэтому первую строку выбираем в качестве генеральной. Следовательно, генеральный элемент равен 2 - он стоит на пересечении столбца и строки .

После выбора генерального элемента нужно перейти к новому опорному плану, при котором переменная становится базисной, а переменная х₁- свободной. Коэффициент при в новой жордановой форме должен быть равен 1. Поэтому первая строка таблицы 3.5 делится на 2. Умножив затем полученную первую строку на (-3) и прибавив ко второй строке, исключим из второго уравнения. Аналогично, с помощью жордановой процедуры исключаем из третьего уравнения и из целевой функции (последнее требует табличный вид ЗЛП).