Экономическая интерпретация двойственных задач

Понятие двойственности в линейном программировании представляет большой теоретический и практический интерес. Двойственная задача - это вспомогательная задача линейного программирования, формулируемая с помощью определенных правил непосредственно из условий исходной, или прямой задачи.

Рассмотрим практическую ситуацию, которая приводит к необходимости рассмотрения двойственной задачи.

Предприятие выпускает четыре вида продукции, для изготовления которой используется сырье трех видов. Запасы сырья, нормы расхода сырья на единицу продукции и прибыль от реализации единицы продукции приведены в следующей таблице:

Требуется составить такой план производства продукции, при котором суммарная прибыль была бы наибольшей.

Для записи математической модели задачи обозначим через x_j количество продукции П_j (j=1, 2, 3, 4). Математическая модель задачи:

Сформулируем теперь двойственную задачу. Предположим теперь, что некоторая организация решила купить у предприятия все сырье. Покупатель стремится установить цены у_i на единицу сырья i-ro вида (i = 1, 2, 3, 4) так, чтобы минимизировать суммарную стоимость сырья, которая выражается величиной φ=80у₁+90у₂+100у₃. При ценах, предложенных покупателем, предприятие получит за сырье, потраченное на изготовление продукции П₁, выручку 2y₁+7у₂+5у₃. Предприятие согласится на сделку с покупателем, если эта выручка будет не меньше прибыли предприятия от изготовления единицы продукции П₁, т.е. если будет выполняться условие 2y₁+7у₂+5у₃≥14. Такие же ограничения покупатель вынужден учитывать и для всех остальных видов продукции. Таким образом, математическая модель задачи, решаемой покупателем, имеет вид:

Получившаяся задача является двойственной для исходной.

С экономической точки зрения ясно, что f_max=φ_min. Действительно, в случае f_max>φ_min предприятие не будет продавать сырье, так как при производстве оно бы получило бóльшую прибыль. В случае же f_max<φ_min покупатель откажется от покупки сырья, так как его плата за сырье больше прибыли от производства.

Результаты решения двойственной задачи выявляют наиболее дефицитные виды сырья (наиболее дефицитным видом является то сырье, которое в оптимальном решении двойственной задачи имеет наибольшую цену у_i). Анализ решения позволяет определить влияние увеличения запасов дефицитного сырья на прибыль производства. Он может также подсказать направление изменения технологии производства, при котором дефицитное сырье используется в меньших количествах.