Импульс. Закон сохранения импульса

ИМПУЛЬС. ЭНЕРГИЯ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ

Пусть на тело массой m действует сила F. Запишем второй закон Ньютона для тела:

Преобразуем его:

Мы получили второй закон Ньютона, записанный в другом виде. Величина

называется импульсом тела. Импульс тела – величина векторная. Единица измерения импульса тела в системе СИ не имеет своего индивидуального наименования, а выражается через другие единицы: [кг·м/с] = [Н·с]. Величина - произведение силы на время ее действия называется импульсом силы. Итак, второй закон Ньютона можно записать через импульс:

Читается так: изменение импульса тела равно импульсу действующей на него силе. Если на тело действует несколько сил, то под F понимается их равнодействующая.

*) Если действующая на тело сила непостоянна, то второй закон Ньютона можно писать только для бесконечно малого промежутка времени:

Для определения изменения импульса за конечный промежуток времени необходимо разбить его на множество бесконечно малых промежутков, записать для каждого из них второй закон Ньютона и все эти уравнения сложить:

*) На практике эта операция сводится к интегрированию.

Если известен график зависимости силы от времени, то импульс силы численно равен площади под графиком.

Пусть имеется система тел. Пусть массы тел равны: m₁, m₂, m₃, …, а их скорости v₁, v₂, v₃, … Импульсом системы тел называется векторная сумма импульсов всех тел системы:

На каждое тело системы может действовать несколько сил. Пусть на первое тело системы действуют силы: F ₁₁, F ₁₂, F ₁₃, …, на второе: F ₂₁, F ₂₂, F ₂₃, …, на третье: F ₃₁, F ₃₂, F ₃₃, … и так далее. Запишем второй закон Ньютона для всех тел системы для некоторого промежутка времени Δt:

А теперь сложим все эти уравнения:

Короче это можно записать так:

Здесь Δ Р – изменение суммарного импульса системы тел.

Разделим теперь все силы, действующие в нашей системе тел на две категории: внутренние и внешние силы. Внутренними назовем силы, с которыми тела, входящие в систему взаимодействуют между собой, а внешними – силы, с которыми тела, входящие в систему, взаимодействуют с телами, не входящими в систему. Рассмотрим внутренние силы системы. Пусть – сила, действующая на i-ое тело со стороны j-ого тела системы. Согласно третьему закону Ньютона, в (*) должна существовать сила , действующая на j-ое тело со стороны i-ого тела. Причем эти две силы равны по модулю и противоположны по направлению, а значит, их сумма равна нулю. Итак, для каждой внутренней силы по третьему закону Ньютона в (*) найдется парная ей сила такая, что сумма этих сил будет равна нулю. В результате, в (*) все внутренние силы уйдут и останутся только внешние силы. В конечном итоге получаем:

Изменение импульса системы тел равно суммарному импульсу всех внешних сил, действующих на систему.

Еще раз отметим, что изменение импульса каждого тела системы происходит под действием всех действующих на него сил: как внешних, так и внутренних, а изменение импульса всей системы происходит только под действием внешних сил. Внутренние силы системы тел на ее импульс никакого влияния не оказывают.

Системы тел, на которые не действуют внешние силы, называются замкнутыми. Если система тел замкнутая, то

а значит изменение импульса замкнутой системы равно нулю. В этом и состоит закон сохранения импульса: импульс замкнутой системы тел есть величина постоянная. Аналитически закон сохранения импульса для системы тел записывается так:

Слева от знака равенства начальный импульс системы, а справа – конечный.

Абсолютно замкнутых систем тел не существует. Однако на практике часто законом сохранения импульса пользоваться можно. Перечислим случаи, в которых на практике можно использовать закон сохранения импульса:

1) Если система не замкнута, но время взаимодействия тел системы очень мало, а возникающие при этом внутренние силы значительно превышают внешние силы. Сюда входят все задачи, связанные со столкновениями тел, с разрывами гранат и так далее.

2) Если система не замкнута, но в проекции на какое-то направление внешние силы равны нулю. Тогда в проекции на это направление можно использовать закон сохранения импульса. Например, в поле тяжести Земли на все тела действует сила тяжести и никакая система тел не может быть замкнутой. Однако проекция силы тяжести на любое горизонтальное направление равна нулю и если силами сопротивления можно пренебречь, то в проекции на горизонтальное направление импульс должен оставаться постоянным.