ПоверхностИ вращения

Определение 6.

Поверхность, которая вместе с каждой своей точкой содержит всю окружность, полученную вращением этой точки вокруг некоторой фиксированной прямой d, называется поверхностью вращения

Линия g называется направляющей (линией) поверхности S.

Дано: линия в плоскости хОz.. Поверхность S, полученная вращением линии g вокруг оси Оz.

Доказать: поверхность

Доказательство. Возьмем произвольную точку М (x ₁, y ₁, z ₁) пространства и проведем через нее плоскость, перпендикулярную оси Oz.

Обозначим через М ₀ точку пересечения этой плоскости с осью Oz.

Окружность ω этой плоскости с центром М ₀ и радиусом М ₀ М.

Отрезки М ₀ М ₁, М ₀ М ₂ и М ₀ М – радиусы окружности ω, поэтому они равны друг другу. Так как , то координаты М ₁ и М ₂:

,

Примеры:

Уравнения линии g и поверхности S (вращение вокруг оси Оz)	Уравнения линии g и поверхности S (вращение вокруг оси Ох)	Уравнения линии g и поверхности S (вращение вокруг оси Оу)

Цилиндр вращения, полученный вращением прямой х=а вокруг оси Оz.

Отсюда , т.е. , тогда .

3. Конические поверхности второго порядка

Определение 7.

Конической поверхностью или конусом с вершиной в точке О называется поверхность, которая вместе с каждой совей точкой М, отличной от вершины, содержит прямую ОМ.

Прямые, проходящие через вершину конуса и лежащие на нем, называются образующимиконуса.